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棒と円板の連成振子 - (2009/11/18 (水) 20:38:21) のソース

****棒と円板の連成振子
[[OKWave>http://okwave.jp/qa5434074.html]]のQ&Aから。棒と円板を連結した連成振子の運動を解析する。
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=185&file=OKWavePend.bmp)

支点Dを原点に，水平右方向に$$x$$軸，鉛直下方に$$y$$軸をとると，円板の重心座標は，

$$x = r(2\sin\theta_1 + \frac{1}{2}\sin\theta_2)$$
$$y = r(2\cos\theta_1 + \frac{1}{2}\cos\theta_2)$$

速度成分は，

$$\dot{x} = r(2\dot\theta_1\cos\theta_1 +  \frac{1}{2}\dot\theta_2\cos\theta_2)$$
$$\dot{y} = -r(2\dot\theta_1\sin\theta_1 +  \frac{1}{2}\dot\theta_2\sin\theta_2)$$

速さ2乗は，

$$v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = r^2\left\{4\dot\theta_1\;^2 + \frac{1}{4}\dot\theta_2\;^2 + \dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right\}$$

以下，エネルギーの添字1は棒，2は円板をさす。

運動エネルギー

$$K_1 = \frac{2}{3}mr^2\dot\theta_1\;^2$$
$$K_2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\dot\theta_2\;^2$$
　　$$ = mr^2\left\{2\dot\theta_1\;^2 + \frac{3}{8}\dot\theta_2\;^2 + \dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right\}$$

位置エネルギー

$$U_1 = -mgr\cos\theta_1$$
$$U_2 = -mgr\left(2\cos\theta_1 + \frac{1}{2}\cos\theta_2\right)$$

ラグランジアン

$$L = K_1 + K_2 - U_1 - U_2$$
　$$= mr^2\left\{\frac{8}{3}\dot\theta_1\;^2 + \frac{3}{8}\dot\theta_2\;^2 + \dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right\} + mgr\left(3\cos\theta_1 + \frac{1}{2}\cos\theta_2\right)$$

運動方程式は，

$$\frac{16}{3}\ddot\theta_1 + \cos(\theta_1 - \theta_2)\cdot\ddot\theta_2 = -\sin(\theta_1 - \theta_2)\cdot\dot\theta_2\;^2 - \frac{3g}{r}\sin\theta_1$$
$$\cos(\theta_1 - \theta_2)\cdot\ddot\theta_1 + \frac{3}{4}\ddot\theta_2 = \sin(\theta_1 - \theta_2)\cdot\dot\theta_1\;^2 - \frac{g}{2r}\sin\theta_2$$

となった。Mathcadによる数値解析の結果得られた，円板の中心の軌跡を記す。Algodooでもシミュレートしてみたが，カオスの程度が深く，軌跡は傾向を示してはいるものの，ただちに数値解析結果から離れていく。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=185&file=OKWavePend.jpg)
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tatt61880さんから，シーンを大きく作れば精度が上がることを教えていただいた。なるほど，はじめしばらくは数値計算によく一致して，上の解析に間違いがないことにようやく自信がもてた。 
http://www.algodoo.com/algobox/details.php?id=33742
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=185&file=ChaosPend.bmp)
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Algodooによるシミュレーション
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=185&file=OKWave-Pend.phz
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#Video(http://www.youtube.com/watch?v=NqvVksvM79c)
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[[Interactive Physics]] によるシミュレーション。
#Video(http://www.youtube.com/watch?v=qhxZdwxKT5A)
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