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【解答】降り注ぐ粒子群の中の物体 - (2011/11/12 (土) 22:22:17) のソース

****【解答】降り注ぐ粒子群の中の物体
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(1)

$$m \ll M$$ により，１個の粒子が１回衝突することによる台の速度変化は， $$V$$ に対して $$m/M$$ の程度であるから無視できるものとして，台から見た粒子の速度変化を考えると図のようになる。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=243&file=waseda09-1.bmp)

したがって，斜面および前面への粒子衝突によって，台が受ける力積の水平成分は，

$$P_1 = 2m(v\cos\theta - V\sin\theta)\sin\theta$$

$$P_2 = 2mV$$

となる。

(2)

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=243&file=waseda09-2.bmp)


斜面および前面に $${\it\Delta}t$$ の間に衝突するのは，図の平行四辺形を断面とする領域にある粒子であるから，その個数はそれぞれ

$$N_1 = nS(v\cos\theta - V\sin\theta){\it\Delta}t$$

$$N_2 = nS\sin\theta\cdot V{\it\Delta}t$$

となる。

(3)

斜面および前面が $${\it\Delta}t$$ の間に受ける力積は，

$$N_1 P_1 = 2mnS(v\cos\theta - V\sin\theta)^2\sin\theta\cdot{\it\Delta}t$$

$$N_2 P_2 = 2mnS\sin\theta\cdot V^2{\it\Delta}t$$

したがって，斜面および前面が受ける平均の力は，

$$F_1 = 2mnS(v\cos\theta - V\sin\theta)^2\sin\theta$$

$$F_2 = 2mnS\sin\theta\cdot V^2$$

終端速度は，$$F_1 = F_2$$ によって与えられるから，

$$v\cos\theta - V\sin\theta = V \qquad \therefore V = \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}\;v$$

を得る。

※　Algodoo での設定は，$$M=700{\rm [kg]}, m=1.6{\rm [kg]},v = 20{\rm [m/s]},V = 11.5 {\rm [m/s]},\theta = \pi/6$$ である。シミュレーション結果は良好で，力学シミュレータとしての Algodoo の実力を発揮する一題となった。
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#Video(http://www.youtube.com/watch?v=QE8WopcYs8Y)
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