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【解答】円弧状の面をもつ台と小球 - (2009/12/08 (火) 15:41:06) のソース

****【解答】円弧状の面をもつ台と小球
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=245&file=fukuoka09-1.bmp)


(1)

とびだすときの速さを $$v$$ とすると，エネルギー保存により

$$mg\cdot\frac{1}{2}\;r = \frac{1}{2}mv^2 \qquad \therefore v = \sqrt{gr}$$

最高点における速さは，とびだし速度の水平成分の大きさ $$v/2$$ に等しいから，あらためてエネルギー保存により，

$$mgr = \frac{1}{2}m\left(\frac{v}{2}\right)^2 + mgh \qquad \therefore h = \frac{7}{8}\;r$$

※　または，鉛直方向の等加速度運動について

$$\left(\frac{\sqrt{3}v}{2}\right)^2 = 2gy \quad \therefore y = \frac{3v^2}{8g} = \frac{3}{8}\;r ,\quad h = \frac{r}{2}+\frac{3r}{8} = \frac{7}{8}\;r$$

(2)

小球のとびだし速度の水平・鉛直成分の大きさを $$v_x,v_y$$，そのときの台の速さを $$V$$ とする。

水平方向の外力はないから，運動量の水平成分は保存される。

$$0 = mv_x - 2mV \qquad \therefore V = \frac{1}{2}v_x$$

また，台から見た小球のとびだしにおける相対速度は，図のように仰角60°方向を向く。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=245&file=fukuoka09-2.bmp)


したがって，

$$v_y = \frac{3\sqrt{3}}{2}\;v_x$$

エネルギー保存により，

$$mg\cdot \frac{r}{2} = \frac{1}{2}m({v_x}^2+{v_y}^2) + \frac{1}{2}\cdot 2mV^2$$

$$V,v_y$$ を代入して，

$$v_x = \sqrt{\frac{4gr}{33}}$$

を得る。求める最高点の高さを $$h^\prime$$ とおくと，あらためてエネルギー保存により

$$mgr = \frac{1}{2}m({v_x}^2+{v_y}^2) + \frac{1}{2}\cdot 2m V^2 + mgh^\prime$$

上の結果を代入して，

$$h^\prime = \frac{10}{11}\;r$$

となる。

※ または，

$$v_y = 3\sqrt{\frac{gr}{11}}$$

鉛直方向の等加速度運動から，

$${v_y}^2 = 2gy^\prime \quad \therefore y^\prime = \frac{{v_y}^2}{2g} = \frac{9}{22}\;r ,\quad h^\prime = \frac{1}{2}\;r + \frac{9}{22}\;r = \frac{10}{11}\;r$$

※ Algodoo の設定は，$$r = 20{\rm [m]}$$ である。円弧内側の運動は，いつも若干のロスが出る。多角形扱いになるからか？
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