「斜方投射の問題」の編集履歴（バックアップ）一覧に戻る

斜方投射の問題 - (2009/02/09 (月) 21:15:02) のソース

****斜方投射の問題
放物運動の初歩的な問題です。
地上高　$$h$$　の地点から初速　$$v$$　で物体を投射するとき，投射地点直下からの水平到達距離　$$L$$　を最大とする投射角　$$\theta$$　（仰角）を求めよ。ただし，空気抵抗は無視できるものとする。
----
この問題で，微積分および物理いずれの演習書を見ても,　$$L$$　を単純に　 $$\theta$$　で微分する下記のシナリオによる解法でした。解答の単純さを見ると何か他のブレイクスルーがありそうな気がするのですが，どうなのでしょう？

軌道は，

$$y=h+x\tan\theta-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\theta}$$

$$y=0$$　のとき，　$$x=L$$　により　$$L$$　の2次方程式を解くと，

$$L=\frac{v^2}{g}\cos\theta\left(\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)$$

$$dL/d\theta=0$$　によりちょっとした計算の後に，

$$\left(\cos^2\theta-\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)\left(\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)=0$$

となり，

$$\theta=\sin^{-1}\frac{v}{\sqrt{2(v^2+gh)}}$$

を得る。
----
#comment(size=60, nsize=20, vsize=3, num=20)
----