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【解答】滑車を回して落ちるロープ - (2009/12/26 (土) 18:01:32) のソース
****【解答】滑車を回して落ちるロープ
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=284&file=Chain%26Reel1.bmp)
求める速さを $$v$$，その瞬間の滑車の角速度を $$\omega$$ とおくと，ロープの重心は，$$\pi R$$ だけ落下しているから，エネルギー保存により
$$mg\cdot\pi R = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}MR^2\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2$$
$$v = R\omega$$ を考慮して
$$v = \sqrt{\frac{4mg\;\pi R}{M+2m}}$$
を得る。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=284&file=Chain%26Reel2.bmp)
シミュレーションの方が理論値より速くなった。つりあいを破るためと太さが無視できないことから，「くさり」を少し長くせざるを得なかったせいかもしれない。
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ロープが4分の1だけ解かれた状態での静止を初期条件として，数値積分してみた。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=284&file=Chain%26Reel4.bmp)
中心角 $$\theta$$ の部分が鉛直に下がったことによる位置エネルギーの減少分を求める。中心角 $$\theta$$ の弧をなしているときこの部分のロープの重心位置は，図のように鉛直下向きに $$y$$座標をとれば，
$$y_G = \frac{\int_0^\theta \left(\rho Rd\theta\times R\sin\theta\right)}{\int_0^\theta \rho Rd\theta} = \frac{1-\cos\theta}{\theta}\;R$$
ただし，$$\rho=m/(2\pi R)$$ はロープの線密度である。この重心位置が $$R\theta/2$$ に下がったと見てよいから，ロープのすべてが巻かれているときと比較した位置エネルギーの減少分は，
$$\rho R\theta\cdot g\left\{\frac{R\theta}{2} - \frac{R(1-\cos\theta)}{\theta}\right\} = \rho R^2g\left(\frac{\theta^2}{2}-1+\cos\theta\right)$$
$$\pi/2 < \theta < 2\pi$$ であるから，初期状態 $$\theta=\pi/2$$ のときと比較した減少分を計算すると，
$${\it\Delta}U = \frac{mgR}{2\pi}\left(\frac{\theta^2}{2}+\cos\theta-\frac{\pi^2}{8}\right)$$
となる。したがってエネルギー保存により，
$$\frac{1}{4}(M+2m)v^2 = {\it\Delta}U$$
$$y$$ をロープの下端の座標とし，$$y=R\theta$$ となることを考慮して整理すると
$$v = \frac{dy}{dt} = \sqrt{\frac{2mgR}{\pi(M+2m)}\left(\frac{y^2}{2R^2}+\cos\frac{y}{R}-\frac{\pi^2}{8}\right)}$$
を得る。下図はこれを，
$$t(y) = \int_{\pi R/2}^y \frac{dy}{\sqrt{\displaystyle\frac{2mgR}{\pi(M+2m)}\left(\frac{y^2}{2R^2}+\cos\frac{y}{R}-\frac{\pi^2}{8}\right)}}$$
として数値積分した結果である。ロープの速さの変化を示している。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=284&file=Chain%26Reel.bmp)
シミュレーションは，理論計算の結果をよく再現している。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=284&file=Chain%26Reel3.bmp)
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