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多変数関数のテーラー展開 - (2009/01/06 (火) 23:50:21) のソース

****多変数関数のテーラー展開
電気双極子による電場の計算で出てくる近似について。
http://okwave.jp/qa4604299.html
なるほど，多変数関数のテーラー展開の公式があったんですね。勉強になりました。
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$$f(x, y) = f(a, b) + f_{x}(a, b) (x - a) + f_{y}(a, b) (y - b)$$ 
　　　　　　　　$$ + (1/2!)[f_{xx}(a, b) (x - a)^2 + 2f_{xy}(a, b) (x - a)(y - b) + f_{yy}(a, b) (y - b)^2] + \cdots$$

　　　　　$$= f(a, b) + [(x - a)(\partial/\partial x) + (y - b)(\partial/\partial y)] f(a, b)$$
　　　　　　　　$$ + (1/2!) [(x - a)(\partial/\partial x) + (y - b)(\partial/\partial y)]^2f(a, b)$$
　　　　　　　　$$ + (1/3!) [(x - a)(\partial/\partial x) + (y - b)(\partial/\partial y)]^3f(a, b)$$
　　　　　　　　$$ + \cdots$$

3変数以上でも同様で，特にベクトルを変数とするスカラー関数 $$f(\boldsymbol{r})$$ を定ベクトル $$\boldsymbol{a}$$ のまわりに展開すると，

$$f(\boldsymbol{r}) = f(\boldsymbol{a}) + [(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\cdot\nabla]f(\boldsymbol{a})$$
　　　　　$$ + (1/2!)[(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\cdot\nabla]^2f(\boldsymbol{a})$$
　　　　　$$ + (1/3!)[(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\cdot\nabla]^3f(\boldsymbol{a})$$
　　　　　$$ + \cdots$$

したがって $$|{\it\Delta}\boldsymbol{r}|\ll|\boldsymbol{r}|$$ のとき，

$$f(\boldsymbol{r}+{\it\Delta}\boldsymbol{r}) = f(\boldsymbol{r}) + {\it\Delta}\boldsymbol{r}\cdot\nabla f(\boldsymbol{r}) + O({\it\Delta}\boldsymbol{r}^2)$$

例として，電気双極子 $$\boldsymbol{p}=q\boldsymbol{d}$$ が $$\boldsymbol{r}$$ の位置につくる静電ポテンシャルは，

$$\phi(\boldsymbol{r}) = \frac{kq}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{d}/2|}-\frac{kq}{|\boldsymbol{r}+\boldsymbol{d}/2|}$$
　　　　$$\simeq kq\left[\left\{\frac{1}{r}-\frac{1}{2}\boldsymbol{d}\cdot\nabla\left(\frac{1}{r}\right)\right\}-\left\{\frac{1}{r}+\frac{1}{2}\boldsymbol{d}\cdot\nabla\left(\frac{1}{r}\right)\right\}\right]$$
　　　　$$= -k\boldsymbol{p}\cdot\nabla\left(\frac{1}{r}\right) = k\frac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}$$
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