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****運動方程式から軌道方程式まで（２）
極座標による運動方程式から，軌道の微分方程式までを追う。
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*****(2) 運動方程式から軌道の微分方程式まで
動径方向および方位角方向の運動方程式より，
$$\ddot{r}-r\dot{\phi}^2 = -\frac{f(r)}{m} = -\frac{GM}{r^2}$$
$$r^2\dot{\phi} = h$$
を得た。目標である軌道方程式を得るために，軌道が満たすべき微分方程式を導く。
先が分かっているからできることだが，ズルをして
$$u = \frac{1}{r}$$
と変数変換をする。まず，方位角方向の運動方程式の積分（角運動量保存）より
$$\dot{\phi} = hu^2$$
したがって，
$$\dot{r} = -\frac{\dot{u}}{u^2} = -h\frac{\dot{u}}{\dot{\phi}} = -h\frac{du}{d\phi}$$
$$\therefore \ddot{r} = -h\frac{d^2u}{d\phi^2}\dot{\phi} = -h^2u^2\frac{d^2u}{d\phi^2}$$
これらにより，動径方向の運動方程式を書き換えて，
$$-h^2u^2\frac{d^2u}{d\phi^2}-h^2u^3 = -GMu^2$$
すなわち，
$$\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{GM}{h^2}$$
を得る。これが，軌道$$u=u(\phi)$$が満たすべき微分方程式である。
ここまでくると，もうひとつの方法に思い至る。エネルギー保存則は，運動方程式の座標による積分だが，逆に微分することで軌道の微分方程式を得る。
$$\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2) - \frac{GMm}{r} = E = {\rm const.}$$
上の $$\dot{r},\dot{\phi}$$ の表式を代入すると
$$\frac{1}{2}\left\{h^2\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2+h^2u^2\right\}-GMu = \frac{E}{m}$$
を得る。両辺を$$\phi$$で微分すると，
$$h^2\frac{du}{d\phi}\frac{d^2u}{d\phi^2} + h^2u\frac{du}{d\phi} - GM\frac{du}{d\phi} = 0$$
ここで，$$du/d\phi$$ は軌道の各点で異なる値をとるから，全体から除すれば
$$\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{GM}{h^2}$$
と，上に同じ結果を得る。角運動量保存こそ用いたが，動径方向の運動方程式を経ずに導出した分，かなりのショートカットになっているといえる。
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[[運動方程式から軌道方程式まで（３）]]に続く
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