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ばねで連結された質点群の横振動 - (2010/03/18 (木) 10:21:00) のソース

****ばねで連結された質点群の横振動
弦の定常波の不連続モデル。バークレー物理学コース「波動」を参考にした。
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【問題】
質量$$M$$の質点が，ばね定数$$K$$で平衡点での長さ$$a$$の軽いばねで多数連結され，全長$$L$$になるように伸ばされている。固定された左端をのぞいて左から$$n$$番目の質点に対し，図の$$x$$方向に

$$A_n = A\sin kna$$
　　　　　　　　　　　ただし，$$k=\frac{2\pi}{\lambda} \quad,\quad \sin kL = 0$$

の初期変位を与えていっせいに放したところ，$$|A_n|$$を振幅として$$x$$方向にそれぞれ単振動し，波長$$\lambda$$の定常波が生じた。ばねの自然長は$$a$$に対して無視でき，いわゆる「[[スリンキー近似]]」が使えるものとする。また，重力の効果は無視してよい。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=368&file=Stand.bmp)


(1) $$n$$番目の質点の変位を$$x_n$$として，運動方程式をたてよ。
(2) $$x_n = A_n\cos\omega t$$ とおいて，運動方程式に代入することによって，振幅と角振動数$$\omega$$の関係を導出せよ。
(3) $$A_n = A\sin kna$$　を用いて，(2)の関係式から振幅を消去して$$\omega$$の波長への依存性$$\omega=\omega(k)$$（分散関係）を求めよ。

※　Algodooの設定は，$$M=0.020{\rm kg}\,,\,a=0.40{\rm m}\,,\,K=1.0{\rm N/m}\,,\,L=6.0{\rm m}$$である。
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[[【解答】ばねで連結された質点群の横振動]]
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[[Algodooシーンのダウンロード>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=368&file=StandingWave.phz]]
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