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****中心力-krを受ける質点の運動（続き）
デカルト座標で計算しなおしてみた。
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$$r=r(t)$$の関数形を求めるため，ということで極座標でせめてみたが，ようするに距離に比例する復元力なのだから，デカルト座標で運動方程式を書くと，
$$\ddot{x}=-\omega^2x$$
$$\ddot{y}=-\omega^2y$$
となり，いずれも同じ振動数をもつ単振動に他ならない。
初期条件を，
$$t=0\quad:\quad r=x=a\quad,\quad y=0,\quad \dot{x}=0\quad , \quad\dot{y}=b\omega$$
ととれば，
$$x=a\cos\omega t$$
$$y=b\sin\omega t$$
となり，これが楕円軌道を意味することは明らかである。$$r(t)$$を計算してみると，
$$r = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{a^2\cos^2\omega t + b^2\sin^2\omega t}$$
$$ = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a^2-b^2}{2}\cos 2\omega t}$$
を得る。前の結果と比較すると，
$$A = \frac{a^2+b^2}{2} = \frac{E}{m\omega^2}$$
$$B = \frac{a^2-b^2}{2} = \sqrt{A^2-\left(\frac{h}{\omega}\right)^2}$$
となる。また，
$$\tan\phi = \frac{y}{x} = \frac{b}{a}\tan\omega t$$
により，
$$\cos 2\omega t = \frac{b^2-a^2\tan^2\phi}{b^2+a^2\tan^2\phi} = \frac{A-B-(A+B)\tan^2\phi}{A-B+(A+B)\tan^2\phi}$$
したがって，軌道の極座標形式は
$$r(\phi) = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a^2-b^2}{2}\cdot\frac{b^2-a^2\tan^2\phi}{b^2+a^2\tan^2\phi}} = \sqrt{A+B\cdot\frac{A-B-(A+B)\tan^2\phi}{A-B+(A+B)\tan^2\phi}}$$
となる。
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