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回折格子における近似の「矛盾」 - (2010/11/14 (日) 00:04:59) のソース

****回折格子における近似の「矛盾」
近似は，そのレベルを意識して使わないと落とし穴にはまることになる。[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q6317346.html]]より。
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そのまま転載させていただく。

【質問】

図のように、スリットから出た光の経路のうち短い方を$$k_1$$，長い方を$$k_2$$とすると、短い経路の光が出たスリットと、長い経路の光が出たスリットとスクリーンとの距離はそれぞれ、$$k_1\sin\theta$$、$$k_2\sin\theta$$とあらわせますので、スリットの間隔$$d$$は $$d=(k_2-k_1)\sin\theta$$です。

明線ができるとき、$$k_2-k_1=m\lambda$$ですので、$$d=m\lambda\sin\theta$$となりますが、これは、公式の$$d\sin\theta=m\lambda$$と異なったものになっています。

上の導き方はどこがおかしいのでしょうか？？よろしくお願いします。。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=459&file=%E8%BF%91%E4%BC%BC%E3%81%AE%E7%9F%9B%E7%9B%BE.bmp)
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【回答】

$$d =k_2 \sin(\theta+{\it\Delta}\theta) - k_1 \sin\theta = k_2(\sin\theta\cos{\it\Delta\theta+\cos\theta\sin{\it\Delta}\theta) - k_1 \sin\theta$$

$$\cos{\it\Delta}\theta \simeq 1$$，$$\sin{\it\Delta}\theta\simeq {\it\Delta}\theta$$と近似して，

$$d\simeq(k_2-k_1)\sin\theta + k_2 \cos\theta{\it\Delta}\theta$$

$$k_2{\it\Delta}\theta\simeq d \cos\theta$$ なので，

$$d \simeq (k_2-k_1)\sin\theta + d \cos^2\theta$$

$$\therefore k_2-k_1 \simeq \frac{d(1-\cos^2\theta)}{\sin\theta} = d \sin\theta$$

もちろん，２番目の近似ですでに経路差を含む小三角形まわりの計算をしていますから，この計算は遠回りの冗長なものとなっています。他にも指摘されているように$$d$$を$$k_1,k_2$$で表そうとするときに$${\it\Delta}\theta$$を無視することはできません。$$k_1,k_2$$に対する$$d$$の微小さ加減は，$$\theta$$に対する$${\it\Delta}\theta$$と同レベルだからです。 $${\it\Delta}\theta$$を無視したことが矛盾の根源です。はじめから小三角形に注目して経路差$$\simeq d \sin\theta$$に気づけば，$$k_1,k_2$$と$$d$$を比較する場面はありませんから，$${\it\Delta}\theta$$の出番はないわけです。
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