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ばねを介した衝突 - (2009/02/14 (土) 19:54:35) のソース

****ばねを介した衝突
質量$$m$$の質点Aが速度$$v$$で進行し，静止している等質量の質点Bに正面衝突する。Bにはばね定数$$k$$の軽いばねがついていて，ばねの弾性力を介して2質点は力を及ぼしあってやがて離れていく。衝突時間（ばねを介して力を及ぼしあう時間）を求む。
>http://okwave.jp/qa4716641.html
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(1) 重心系

重心系から見ると，AとBは互いに速さ$$v/2$$で重心に近づき，衝突時は重心に固定された長さ半分のばねで単振動の半周期を経て，互いに速さ$$v/2$$で重心から離れていく。
長さ半分のばねのばね定数は$$2k$$だから，衝突時間は

$$\frac{T}{2}=\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}$$

となる。

(2) 小球とともに動く座標系

Aとともに動く座標系は，衝突時ばねの縮みが$$x$$のとき静止系に対して加速度$$a=-kx/m$$をもつ加速系である。したがって，このときBが受ける慣性力は$$-ma=kx$$であるから，Bは合力$$2kx$$を復元力とする単振動をすることになる。したがって，衝突時間は，

$$\frac{T}{2}=\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}$$

となる。

(3) 静止系

衝突時ばねの縮みが$$x$$のときのA，Bの運動方程式は，

$$m\ddot{x_1}=-kx$$
$$m\ddot{x_2}=kx$$

辺々引いて，
$$m(\ddot{x_1}-\ddot{x_2})=-2kx$$
ばねの自然長を$$l$$とすると，$$x=l-(x_2-x_1)=x_1-x_2+l$$だから，
$$m\ddot{x}=-2kx$$
となる。これは単振動の運動方程式だから，衝突時間は半周期にあたり

$$\frac{T}{2}=\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}$$

となる。
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