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パウリ行列と演算子の指数関数 - (2011/03/08 (火) 14:04:14) のソース

****パウリ行列と演算子の指数関数
パウリ行列の特性と，パウリ行列を含む演算子の指数関数の問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1057120230]]より。
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【問題】

$$a_x,a_y,a_z$$をそれぞれパウリ行列とし、$$\boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z)$$とする。このとき、

(1) 任意のベクトル$$\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$$について、

$$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}){\sf I}+i\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})$$

が成り立つことを示せ。ただし、$${\sf I}$$は２行２列の単位ベクトル、$$i$$は虚数単位である。

(2) $$\boldsymbol{b}$$を任意の３次元ベクトルとする。このとき、演算子$$\exp(i\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a})$$を$$\boldsymbol{a}$$と$$\boldsymbol{b}$$の内積の一次式で表せ。また、この演算子の物理的意味を記せ。
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【解答】

$$a_x = \left(\begin{matrix}0\quad1\\1\quad0\end{matrix}\right)\qquad a_y = \left(\begin{matrix}0\quad-i\\i\qquad0\end{matrix}\right)\qquad a_z = \left(\begin{matrix}1\qquad0\\0\quad-1\end{matrix}\right)$$

(1)

$$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}) = \left(\begin{matrix}\qquad b_z\qquad b_x-ib_y\\b_x+ib_y\quad-b_z\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\qquad c_z\qquad c_x-ic_y\\c_x+ic_y\quad-c_z\end{matrix}\right)$$

　　　　　　$$= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c} + i(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_z\qquad (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_y + i(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_x\\-(\boldsymbol{b}\times\boldsymol{c})_y + i(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_x\qquad\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c} - i(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_z\end{matrix}\right)$$

　　　　　　$$= (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}){\sf I} + ia_x(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_x + ia_y(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_y + ia_z(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_z$$

　　　　　　$$= (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}){\sf I} + i\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})$$

(2)

$$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2 = b^2{\sf I}$$

$$\exp(i\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}) = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{(2n)!}(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a})^{2n} + i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a})^{2n+1}$$

　　　　　　$$= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{(2n)!}b^{2n}{\sf I} + i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}b^{2n}(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a})$$

　　　　　　$$= {\sf I}\cos b + \frac{i}{b}(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a})\sin b$$

物理的意味？？
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