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単振動をエネルギー保存から解く - (2011/07/20 (水) 22:57:10) のソース

****単振動をエネルギー保存から解く
[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1367000713]]より。単振動はエネルギー保存からすっきり解ける好例である。
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【問題】
ばね定数 $$k$$ のばねに結ばれた質量 $$m$$ の質点の単振動を考える。この系のエネルギー保存

$$\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} kx^2 = E$$

より速度に対する微分方程式（$$x$$に関する１階の微分方程式）を求め，単振動の一般解を導出せよ。
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【解答】
$$\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} kx^2 = E$$
$$\therefore v = \frac{dx}{dt} = \pm\sqrt{\frac{2E - kx^2}{m}}$$

$$dt > 0$$ としてよく，このとき$$v$$の符号は$$dx$$の符号に一致する。

$$k/m = \omega^2, 2E/m = a\omega^2 ( a > 0, \omega > 0)$$  とおくと，

$$\frac{dx}{dt} = \pm\omega\sqrt{ a^2 - x^2 }$$

これが求める微分方程式である。

$$\frac{dx}{\sqrt{ a^2 - x^2 }} = \pm\omega dt$$

$$x = a \sin\theta$$ とおくと， $$dx = a \cos\theta d\theta$$

上に代入すると，

$$d\theta = \omega dt$$

（※複号は分母の根号をはずしたとき $$\cos\theta$$ に吸収される）

$$\therefore \theta = \omega t + \phi$$

すなわち，

$$x = a \sin(\omega t + \phi )$$

を得る。
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