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【解答】回転している球の衝突 - (2012/04/19 (木) 17:36:59) のソース

****【解答】回転している球の衝突
問題はこちら　→　[[回転している球の衝突]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=557&file=Kaiten-Tamatsuki.bmp)


図のようにおくと，運動量保存により

$$v_0 = v_1\cos\theta_1 + v_2\cos\theta_2$$

$$0 = v_1\sin\theta_1 - v_2\sin\theta_2$$

衝突方向の相対速度成分の大きさが保存されるから，

$$v_0 = v_2\cos\theta_2 - v_1\cos\theta_1$$

第１，３式より，$$\theta_1 = \pi/2$$を得る。したがって，接触時間を$${\it\Delta}t$$とすると，運動量-力積関係により

$$mv_0 = N{\it\Delta}t$$

$$mv_1 = \mu N {\it\Delta}t$$

$$\therefore v_1 = \mu v_0$$　　※$$N$$が時間的に変化してもこの関係は保たれる

したがって，第１，２式より

$$\tan\theta_2 = \frac{v_1}{v_0} = \mu\quad,\quad v_2 = \sqrt{{v_0}^2+{v_1}^2} = v_0\sqrt{1+\mu^2}$$

を得る。一方，角運動量-角力積関係により，

$$I(\omega_1 - \omega_0) = -\mu Na{\it\Delta}t = -\mu m v_0a\quad,\quad I=\frac{2}{5}ma^2$$

$$\therefore \omega_1 = \omega_0 - \frac{5\mu v_0}{2a}$$

同様に，

$$\omega_2 = - \frac{5\mu v_0}{2a}$$

を得る。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=558&file=Kaiten-Tamatsuki1.bmp)
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coJJyMAN 氏が正しく指摘された通り，この衝突モデルはエネルギー保存に矛盾する。 

衝突による力学的エネルギーの変化を計算すると，

$${\it\Delta}E = \frac{1}{2}m{v_1}^2 + \frac{1}{2}m{v_2}^2 + \frac{1}{2}I{\omega_1}^2 + \frac{1}{2}I{\omega_2}^2 - \left(\frac{1}{2}m{v_0}^2 + \frac{1}{2}I{\omega_0}^2\right) = \frac{1}{2}m\mu v_0(7\mu v_0 - 2a\omega_0)$$

となり，

$$7\mu v_0 > 2a\omega_0$$

の条件が成立するとき，力学的エネルギーが増加してしまうということになってしまうのである。したがって，とりあえずこの類の衝突問題の正しい解析については保留としたい。
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