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  • プランク質量とプランク長
    プランク質量とプランク長 OKWaveのQ Aより。プランク質量からプランク長を求める？？ ほぼそのまま転載させていただく。 【質問】 次元解析でプランク質量からプランク長の導きかたが分かりません。プランク質量は定義がはっきりしているので求まります。プランク長をどのように求めますか。何か参考書はありますか。次元解析でプランク質量からプランク長を導く方法を教えてください。 【回答】 などの基本定数を組み合わせて，自然を特徴づける基本的な長さを表すのがプランク長なのでしょうから， から長さ次元を構成すれば，直接に求めることはできます。 とおくと 連立方程式を解いて， を得ます。 ただし，プランク質量から・・・とされていますから，質量から長さを出すにはそれらを結ぶ関係が必要ですね？　Wikipediaでは， 「...
  • ベクトル場の「勾配」？
    ベクトル場の「勾配」？ 電磁波の波動方程式の導出過程で出てくる，ベクトル場の「勾配（gradient）」とは何か？かぎしっぽ掲示板より。 真空中のMaxwell方程式 　　 …(i) 　…(ii) 　　　　　　…(iii) 　　　　　　…(iv) (i)の回転をとって， ベクトル解析の公式 を用いて， (ii)(iii)を代入すれば， を得る（波動方程式）。 問題は，ベクトルに対するラプラシアンの作用にある。ラプラシアンは本来スカラー場の勾配の発散である。そこで，ベクトルの「勾配」，さらにその「発散」とはいったい何なのか，ということである。以下，簡単のため などと略記する。ラプラシアンは，演算子 であるから，ベクトルのラプラシ...
  • 光のドップラー効果
    光のドップラー効果 「かぎしっぽ」のQ Aから http //hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1 mode=res no=22581 mode2=preview_pc 光の（縦）ドップラー効果の計算です。 観測者に対して，速さで近づく光源から出る振動数の光について，観測される振動数を求める。 光源とともに動く座標，観測者の座標とする。 の間に放出される光波の長さは，だから，この光波が観測される時間は，である。この光波の中に 個の波が含まれるから，観測される振動数は ここで， を代入すれば， を得る。 ちなみに，光の（縦）ドップラー効果はエネルギーと運動量の4元ベクトルの変換を用いても簡単に導くことができる。 4元運動量ベクトル が， と同じローレンツ変換に従...
  • ケプラーの第３法則
    ケプラーの第３法則 「惑星の公転周期の2乗は、軌道の半長径の3乗に比例する」 ケプラーの第３法則の成立を『Phun』でシミュレートしてみた。 惑星の周期がほぼ になるように調節してある。 半長径，周期として，であるから，半長径の比は になる。下の電卓表示が理論値，上の電卓表示がシミュレーション測定値である。 半長径は，ばねの自然長を用いて計測する。 『Phun』シーンのダウンロード http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=140 file=Kepler3.phz
  • 衝突振子（理論編）
    衝突振子（理論編） ２個をぶつけて２個飛び出す場合と，２個を連結してぶつけてバラバラに飛び出す場合のそれぞれについて考えてみる。 この問題は10年近く前に考察したことがあった。手近なものとしては10円玉をおはじきとして使っても実験できるのでやってみるとよい。連結はテープでよいが，ちょっとテンションをかけ気味にしてしっかり連結すると，よい結果が得られる。 鋼球（またはコイン）１個の質量をとし，衝突は完全弾性衝突であるものとしよう。また，鋼球（コイン）に左から１・２・３・４・５と番号をつけて区別し，それぞれの速度の添字にも用いることとする。 (1)　連結しない場合 １と２の衝突直前の速度を，の衝突直後の速度をとする。 衝突時に鋼球（コイン）中を弾性波が伝わるには有限の時間を要するから，時間差で次々と起こる連続衝突現象として考察しなければならない。 ...
  • ラグランジアンの落とし穴
    ラグランジアンの落とし穴 「かぎしっぽ掲示板」の質問から。 中心軸Oのまわりに自由に回転する質量、半径の円板に糸をかけて、一方は地面に固定され、一方は質量がのおもりが吊り下げられている。円板の中心Oは天井からヤング率のバネで吊り下げられている。糸の質量は無視でき、糸は伸びず、すべらないとする。 いま、おもりの垂直方向の変位が、円板の垂直方向の変位が、中心からの回転角がで表されるものとする。変位、速度、加速度は下方に向かって正とする。横方向への移動はないものとする。 ばねに力が加わらない初期長さのときを、初期位置、、とする。 問1　O点まわりの円板の慣性モーメントを求めよ。 問2　との関係、との関係を求めよ。変位は微小であるとして、、 and とみなして良い。 問3　バネのポテンシャルエネルギー、円板のポテンシャルエネルギー、おもりのポテンシャルエネルギーをそれぞれ...
  • 動く反射壁によるドップラー効果
    動く反射壁によるドップラー効果 音源および観測者が静止しており，壁が動く場合のドップラー効果について。Y氏の急逝を悼みつつ。 非礼とも思われるが，讃えるべき功績を有しながら，無念にも道半ばにして故人となられた方なので，実名で紹介させていただく。尊敬する仲間である山本央明さんが去る18日朝に急逝された。あまりに突然のことで言葉もない。生前の精力的な姿をしのびつつ，ご冥福をお祈りするばかりである。 昨年11月に，ローカルのMLでドップラー効果について議論になったとき，彼は反射壁がある場合に，壁を「一旦観測者，次いで音源に早がわり」と段階的に解くことの冗長さを指摘していた。彼によって投稿された実にエレガントな理論計算について紹介したい。これは，いずれ転載させていただこうと思っていたが，いままで保留していて，残念ながら彼に許諾をいただくこともかなわぬことになってしまったものである...
  • 斜め方向のドップラー効果（難問）
    斜め方向のドップラー効果（難問） ちょっとした難問。斜め方向のドップラー効果の近似式を用いる問題。Yahoo!知恵袋より。 【問題】 平坦な地面で、直線上のレールに直角に交差する道路上を、速度で踏み切りに向かって走っている自動車に乗った観測者が、踏み切りを通過するとき、線路のはるかかなたから近づく電車を確認した。ちょうどそのとき電車は汽笛をならし、その振動数を測るとであった。自動車が踏み切りを渡ってしばらくしてから、バックミラーを覗くと、電車が汽笛を鳴らしながら踏み切りを通過した、その時の汽笛の振動数はだった。音速をとしたとき、電車の速さと汽笛の本来の振動数を求めよ。 【解答】 とおく。踏切上での観測より， すなわち 　…　(i) 後に観測した音を電車が発した位置を自動車の進行方向から方向とすると， ...
  • 計量テンソルによるラプラシアン（覚書）
    計量テンソルによるラプラシアン（覚書）(2008.12.01) 曲線座標の計量テンソルを ，その行列式を　 とすれば，共変微分を用いて と表せる。ここに，公式 を用いると， となる。曲線座標におけるラプラシアンを求める簡明な公式といえる。 上の結果を，極座標 に適用してみる。 だから， となり， 　　 　　 名前 コメント
  • 2009年のページ
    2009年のページ ターンテーブル上を歩く虫(2009.12.31) 「一般力学30講」（戸田）より。上で虫が円を描いて歩くときのターンテーブルの回転。 衝突する振子のついた台車(2009.12.30) 京都府医大 08を参考にしたオリジナル問題。 ウェイトのついたターンテーブル(2009.12.29) 「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。 棒が回転軸から受ける力(2009.12.28) 「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。 二重振子の運動方程式(2009.12.27) OKWaveのQ Aより。二重振子をラグランジアンを使わないで解く。 滑車を回して落ちるロープ(2009.12.26) オリジナル問題。滑車に巻かれたロープが，滑車を回しながら降下する運動。 回転盤の親子(2009.12.25) 「ファインマン流物理がわか...
  • ホールインツー
    ホールインツー Yahoo!知恵袋から。斜面でバウンドさせたボールをカップイン。 【問題】 反発係数の滑らかなボールが高さから静かに落下して、下図のような斜面でワンバウンドした後、それ以外の場所ではバウンドせずに穴に入る条件を求めよ。 ただし、斜面はにて、と表せ（）、最初ボールはに静止している（）。穴は、の位置に開口しており、ボールが入るのには十分な大きさであるとする。 ※Algodooの設定は，である。 【解答】ホールインツー Algodooシーンのダウンロード
  • 【解答】ホールインツー
    【解答】ホールインツー 【問題】　ホールインツー 斜面に対して入射角。このとき反射角，衝突直後の速さとすると， ∴ 衝突後の速度の仰角とすると，。 衝突から時間 後にに到達するとして， を代入して，とかくと， これが，求める条件になる。について解くと， となる。 たとえば，のとき，である。 ※質問者から補足をいただき，下記の制限条件がつくとのこと。 これについては，まだ検討できていない。
  • 二重振子の運動方程式
    二重振子の運動方程式 OKWaveのQ Aより。二重振子をラグランジアンを使わないで解く。 よく，ラグランジュ方程式の例題として用いられる二重振子。 ラグランジアンとその微分は， 　　　　※ 第2項ですでに微小振動の近似をしている。 微小振動の近似をとって，運動方程式は となる。 ラグランジアンを用いないで，力をあらわにして解いてみる。 ごちゃごちゃしてわかりにくいが，第1式は質点1の接線方向の運動方程式である。第2式，第3式は質点2の接線方向，半径方向の運動方程式だが，質点1の位置を軸としているため，慣性力が入っている。いずれにせよ，張力 を消去し，２次以上の微小項をおとして整理すると を得る。ラグラン...
  • 正方形枠の回転２
    正方形枠の回転２ 鉛直面内に立てて，重力を考慮する。ひとまず，姿勢保持に必要なトルクの導出を考えてみたい。 重力を考慮した系のラグランジアンは， となる。ラグランジュ方程式をつくり，２階微分について解いて整理すると を得る。 まず手始めに，角 への姿勢保持において，左下の固定回転軸まわりに必要なトルクを求めてみる。 とおいて， となる。これを について解けば， を得る。 Algodoo の設定は， である。Algodooのモーターの強制停止時トルクでは静止させられなかったので，静止させるための支点を与えて力を見ることにした。 こうして見ると，姿勢保持に要するトルクを求めるのにラグランジアンから導くのは全く大げさで，初歩的な剛体のつりあいを考えれば十分で...
  • 弾性衝突としてのスイングバイ
    弾性衝突としてのスイングバイ スイングバイは，簡単にいえば探査機と惑星との弾性衝突である。Yahoo!知恵袋よりひろった１次元弾性衝突としてのスイングバイの考察を２次元にひろげてみた。 【問題】 図で重力のスイングバイ効果が、(太陽に対して)9.6km/sの軌道速度でx負方向へ運動している惑星、土星に対して示されている。土星の質量は5.69×kg、質量825kgの宇宙船は、最初、x正方向に10.4km/sで土星に近づいている。土星の重力による引力(保存力)は、宇宙船をその回りに振り回して(破線によって示された軌道)逆向きにしている。土星の引力から自由になるまでに十分に離れた後での宇宙船の終状態の速度を求めよ。 【解答】 この問題は，本質的に１次元弾性衝突の問題であるといえる。 土星は宇宙船に比べて十分に質量が大きいので，速度を変えることはな...
  • ファインマンのトラス問題
    ファインマンのトラス問題 「物理のかぎしっぽ数式掲示板」に寄せられた質問から， 「ファインマン物理学」の力学の演習にあるトラスの問題。 図のようなトラスで、対角線の支柱はみな5の長さ、水平の支柱はみな6の長さである。 つなぎめは蝶番でみな自由に動く。トラスの重さは無視できる。 a)　図のように荷をかけたとき、支柱のどれとどれは、針金で代用できるか。 b)　支柱BD,DEの内部にはたらく力を求めよ。 本来，仮想仕事の原理の問題。しかし，a)ですべての力の正負を仮想仕事で判断するのはなかなか難しい。ファインマンダイヤグラムを発明するようなイメージの天才ならばまだしも。コツとしては，支柱の1本をばねに置き換えてEを下に引くとき，ばねが伸びるか縮むか…ということである。伸びる場合はもとの支柱内部の力は張力，縮む場合は抗力であったことになる。 いよいよとなれば，...
  • 二重連結棒の水平面回転
    二重連結棒の水平面回転 二重連結棒をなめらかな水平面上で回転させるとき，定常回転時に生じる振動の問題。Yahoo!知恵袋より。 【問題】 図のように、2本の等しい一様な棒OB,BCが滑らかなちょうつがいで点Bにおいてつながれ、点Oを固定点として水平面内で自由に回転する。棒の質量をそれぞれ、長さをとし、水平面に対して垂直上向きに軸をとり、図のようにとをとる。 (1) 系全体のラグランジアンを書け。 (2) (1)のラグランジアンを用いて、とについてラグランジュ運動方程式をかけ。(ただし、との時間微分を実行しなくてよい） (3) が一定である定常運動ではと(上付きドットは時間微分)も一定である。 (i) 定常運動の場合、ラグランジュの運動方程式よりとなることを示せ。 したがって、とおける。で与えられる定常運動は安定でありで与えられる...
  • 【解答】中空円筒と円柱の微小振動
    【解答】中空円筒と円柱の微小振動 【問題】→　中空円筒と円柱の微小振動 (1) 下図のように円柱重心の最下点からの角変位を，円筒との接点を基準とした回転角をとする。 ラグランジアンは， ここに，は円柱の慣性モーメント である。また，すべらずに転がる条件は， となる。 を消去し，微小角近似した上で，ラグランジアンの定数項および定数因子を省いて 微分して得られる円柱の運動方程式は したがって，角振動数と周期は， となる。 (2) 下図のように，つり合い位置で鉛直下方となる半径を基準とした角変位をとる。 また，は(1)と同様にとる。 ラグランジアンは， すべらずに転がる条件から ...
  • 【解答】2重回転系の運動方程式
    【解答】2重回転系の運動方程式 【問題】はこちら　→　2重回転系の運動方程式 【解答】 質点のS 系における座標を とすると，質点への位置ベクトルは ただし， 時間微分をとると， また，単位ベクトル（基底）の時間微分は， 以上を用いて を２回時間微分すると， を得る。したがって，求める運動方程式は であるから， 成分 成分 となる。下図は，POLYMATHによる数値積分，およびAlgodooによるシミュレーションの結果である。 上記の 成分すなわち に関する運動方程式は，質点のラグランジアンから導出することもできる。質点は外力により仕事をされており，...
  • 正方形枠の回転
    正方形枠の回転 正方形に回転軸連結したリンクの回転を解析する。 正方形に組んだリンクの左下が固定軸，その他は自由軸である。 (1) 自由回転 まず，自由回転について解析する。図のようにおくと，系のラグランジアンは となる。ラグランジュ方程式をつくり，２階微分について解いて整理すると を得る。 (2) 定トルク回転 固定軸のところで，互いに逆向きの定トルクを加えた場合について解析する。トルクをそれぞれ とするとラグランジアンは， となる。ラグランジュ方程式をつくり，２階微分について解いて整理すると を得る。 Mathcadによる数値積分結果と，Algodooによるシミュレーション結果を下図に示す。 SquareG.jpg ...
  • 【解答】２直線に束縛された振子
    【解答】２直線に束縛された振子 (1) 重力の影響がない場合 図のような状態で，鉛直方向からの棒の角度を とおくと，おもりの位置は 速度成分は， したがって，ラグランジアンは となる。 より運動方程式をつくり，整理すると を得る。 (2) 重力がある場合 ラグランジアン により，運動方程式は となる。 回転軸連結された２本の棒に引き続き，束縛された系の運動の解析にラグランジアンを用いた方法がいかに強力なものか，再び思い知らされることになった。座標への束縛を与えるだけで，結果的に束縛力を逆に得ることになるわけである。
  • 『Phun』でスイングバイ
    『Phun』でスイングバイ 外惑星探査機で使われるスイングバイ航法。その理屈を『Phun』のシミュレーションゲームで表現してみました。 地球から探査機を「埋め込み発射」する。リターンキーで発射され，タイミングがよければ，外惑星の後方すれすれに通って外惑星の重力により加速，進路転換がなされる。 シーンのダウンロード http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=132 file=Swing-by.phz
  • 野鳥
    野鳥 家の庭木にやってくる野鳥たちの写真を集めてみる。 シメ 2013.02.24 11 50 朝からヒヨドリ，シジュウカラ，メジロ，シメ…と千客万来。 シメは，夏は北海道，冬は本州で過ごす渡り鳥。刺した枝から落ちたキウィをついばむ。 いかつい顔に見えるが，うす茶色と黒のコントラストがきれい。 2013.02.24 13 55 1mぐらいに近づいてもなかなか逃げなかった。 シジュウカラ 2013.02.24 08 47 白黒のコントラストとウグイス色の混じったグレーの翼の色調がすばらしい小形鳥。 すばしっこくて，この日は残念ながらピンボケ１枚しかとれなかった。 メジロ 2013.02.17 13 52 ウグイス色で目のまわりの白がかわいい小形鳥。ときおり数羽でやってくる。 ヒヨドリ 2013.02.1...
  • 【解答】並進・回転の独立な振動
    【解答】並進・回転の独立な振動 【問題】　　並進・回転の独立な振動 ラグランジアンは， ただし， ラグランジアンを微分すると， したがって，運動方程式 を得る。並進・回転の振動は相互に影響することがなく独立になり，基本振動数は となる。
  • 2010年のページ
    2010年のページ 月の公転周期(2010.12.13) 月の公転周期を計算してみる。精度よく計算するためには，２体問題としての考察が必要である。 動摩擦力を受ける水平ばね振子(2010.12.11) 一定の動摩擦力によって，振動中心を半周期ごとに変えて減衰振動するばね振子。OKWaveから。 球面に拘束された質点の運動(2010.12.07) 一様な重力下で固定された球面に拘束された質点（球面振子）の運動の解析。Yahoo!知恵袋から拾ったネタ。 ０の０乗は？(2010.11.30) たまたま同僚と話題になったこと。０の０乗は何だろうかという話。 回転系から見た等速直線運動(2010.11.24) 回転円板の上で見た等速直線運動を解析する。Yahoo!知恵袋より。 反対称テンソルの成分展開(2010.11.18) 反対称テンソルをLevi-Ci...
  • Index（日付順）
    Index（日付順） 排水口のある水槽への給水(2013.02.28) 質点がついた軽い円盤の微小振動(2013.01.29) 雪崩の単純化モデルについて(2013.01.14) 検討の余地あり 連結による内部衝突問題(2013.01.08)　検討の余地あり 変位電流による磁場について(2012.12.28) 磁場とは何なのか(2012.12.24) 木をこえる最小投射速度(2012.12.24) 次元の階段を昇る(2012.12.17) 4元加速度と3次元加速度の関係(2012.12.17) 2重回転系の運動方程式(2012.12.16) 電磁場テンソルのローレンツ変換(2012.12.13) 球面を転がり落ちる小球(2012.12.13) 双極子が非一様電場から受ける力(2012.12.10) 回転する一様帯電球がつくる磁場(2012.12.09) 合体におけるエネルギー損失(201...
  • Index（内容別）
    Index（内容別）※は重複 力学(293) 排水口のある水槽への給水(2013.02.28)※ 質点がついた軽い円盤の微小振動(2013.01.29) 雪崩の単純化モデルについて(2013.01.14) 連結による内部衝突問題(2013.01.08) 木をこえる最小投射速度(2012.12.24) 2重回転系の運動方程式(2012.12.16) 球面を転がり落ちる小球(2012.12.13) 合体におけるエネルギー損失(2012.12.07) 直線２連振子のエネルギー(3)(2012.12.06) 直線２連振子のエネルギー(2)(2012.12.06) 直線２連振子のエネルギー(2012.12.04) ３体問題８の字解(2012.12.03) エネルギーによって軌道長半径が決まること(2012.11.27) 第１宇宙速度による投射(2)(2012.11.24) 第１宇宙速度による投射...
  • Algodoo物理分野別リスト
    Algodooで物理問題に挑戦！（分野別リスト） ※は重複掲載。 静力学 静定ラーメンの反力(2012.03.25) ２球を入れた円筒の安定(2011.06.25) 回転方向で差のあるブレーキ(2011.01.11) おわんとおはしの問題(2010.06.13)※ 仮想仕事の原理(2010.05.04) 壁に立てかけた立方体(2009.12.21) つるした棒のつりあい(2009.12.18) 三角枠上でつりあう連結おもり(2009.12.17) 荷台からの丸太の落下(2009.12.16) 半円筒に立てかけた棒(2009.11.27) ボビン・バランス(2009.11.26) FR車の加速(2009.11.25) ファインマンのトラス問題(2009.03.30)※ 『Phun』でトラス(2009.03.29) 斜面上で回転静止する円筒(2010.01.07)※ 放物運動 ...
  • 2011年のページ
    2011年のページ 力学系と内力・外力 複数の物体からなる力学系の運動においては，内力と外力の区別はとても重要になる。再掲。 浮力による位置エネルギー 浮力は保存力であり，したがってポテンシャルが定義できる。 浮力による位置エネルギーについて考察してみよう。 Yahoo!知恵袋でこれに関する質問があったので，過去につくったページを再掲。 水位下降速度一定のタンク形状(2011.12.15) ４次関数を軸まわりに回転させた形状のタンクの底に小孔をあけると，排水による水位下降の速度が一定になる。Yahoo!知恵袋より。 拘束系と半拘束系(2011.11.13) すべる棒が壁を離れるときの問題に「壁を離れない」拘束を付加して比較してみた。 母星質量が突然半減したときの惑星軌道(2011.11.08) 恒星の質量が突然半分に減少したとき，円軌道を公転していた...
  • 運動座標系による運動方程式（１）
    運動座標系による運動方程式（１） 最も一般的な運動座標系における運動方程式の記述について整理してみた。OKWaveのQ Aにヒントを得て。 (1) 数学的準備 慣性系Sに対して並進および回転をしている運動座標系S において，運動方程式がどう記述されるかを整理する。S系で記述されたベクトルに対する，S 系の表現をとする。ベクトルそのものは，唯一の空間に浮かぶ同一の矢印であることに変わりはないから， である。この表現の意味するところは，S系の基底およびS 系の基底として，それぞれによる表現がおよびとなること，すなわち を示しているのである。 さて，運動方程式の成立は慣性系における観測が前提である。しかし，場合によって加速系による表現が要求されるから，慣性系で立てた運動方程式を加速系の表現に書き直す必要が出てくる。その一般的表現を得ようとい...
  • 直線２連振子のエネルギー(3)
    直線２連振子のエネルギー(3) 引き続いて直線２連振子の運動方程式を立ててみる。おもりが棒から受ける力（エネルギー移動の主役）を考慮した立式にも挑戦。 まずラグランジュ方程式を立ててみる。ラグランジアンは， 微分すると， したがって，運動方程式は となる。実は全体の慣性モーメント を用いて回転の運動方程式を立てればそれですむことであった。 一方，図のようにおもりが棒から受ける力（束縛力）を考慮して，個別に接線方向の運動方程式を立てると， 棒の質量は無視するのだから，棒が単独で受けるトルクはゼロでなければならない。これが，いわゆる束縛条件となる。すなわち， 上２式よりを消去し，連立させても消去すれば を得る。下図はPOL...
  • 【解答】ダークマターが公転に与える影響
    【解答】ダークマターが公転に与える影響 【問題】 ダークマターが公転に与える影響 問１ 物質Aは球対称であるから，Aからの引力は半径 の内側にあるAの質量が中心に集中した場合に等しい。 したがって，第１項は無限遠基準，第２項は原点基準として積分して，ポテンシャルエネルギーは 問２ ラグランジアンは， 問３ 角運動量保存により， したがって， 問４ 有効ポテンシャル の定義より 問５ ラグランジュ方程式または直接半径方向の運動方程式をたてると， 公転周期は太陽のみの場合よりも短くなる。 ※ が に依存するはずはない。 ※ は，円軌道の安定条件 から得られ...
  • 拘束系と半拘束系
    拘束系と半拘束系 すべる棒が壁を離れるときの問題に「壁を離れない」拘束を付加して比較してみた。 ヒットペットの力学，『Phun』 でヒットペットでも半拘束系を拘束系としてあつかう危険について少し触れた。ヒットペットゲームの力学を解析しようとしたとき，ペットボトルの底がテーブルから離れずに常にすべり状態にあるものとして問題を簡略化した。この簡略化はある程度役に立つが，ペットボトルがはじかれる初期条件によっては，ボトルの底はほとんど空中にあり役に立たない。 『Phun』でリアルなヒットペットより…はじかれたボトルの底はほとんど空中にある すべる棒が壁を離れるときの問題でも，うっかりすると棒が壁を離れるということ自体忘れてしまうことがある。拘束系として扱ってしまえば，ラグランジアンが簡単に書けて解析はずいぶん楽になる。 床と壁の交点を原点とし，水平右方向に...
  • 極座標による微分導出への回転の活用(3)
    極座標による微分導出への回転の活用(3) 最後はラプラシアンで締めましょう。 ラプラシアンは， を計算すればよい。まず， であった。以下，簡単のため， 等の略記を用いる。ここで　　とおけば， であったから，部分的に計算すると したがって， または，お好みであれば， を得る。
  • 波動のローレンツ変換
    波動のローレンツ変換 OKWaveでおもしろい問題をみつけた。波動の式をローレンツ変換すると，時間の遅れを含むドップラー効果と速度合成則が一度に出てくる。 【問題】（一部改題） 系において， で表される，方向に進行する波がある。これを-系に対して方向に相対速度をもつ-系で観測する場合，振動数，伝搬速度はどう変換されるか。 【解答】 ローレンツ変換 により， 　 　 　 となる。これを と比較すると， を得る。の因子は時間の遅れにともなう相対論的効果，第２因子はドップラー効果を意味する。また，は速度の合成則そのものである。
  • 棒でつながれた質点系の運動(2)
    棒でつながれた質点系の運動(2) 棒でつながれた質点系の運動を解析してみた。慣性のみの自由運動だが，なかなか手ごわい。 まず，簡明なラグランジアンによる解析をしてみる。 重心は等速度運動することが明らかだから，重心系によって運動を記述する。質点の座標を，質点の座標をとすると，
  • 【解答】支点の水平振動によって励振される振り子
    【解答】支点の水平振動によって励振される振り子 【問題】　　支点の水平振動によって励振される振り子 ラグランジアンは， 微分して， したがって，運動方程式は 　により， となる。特解　　とおくと， したがって，一般解は となる。共鳴角振動数は， である。Algodooの設定ではうなりが起こり，うなりの周期は となる。Algodooシミュレーションでは，　は微小角でありえず，うなりの周期は若干長めになっている。
  • 【解答】弾性棒とばねで連結された３連振子
    【解答】弾性棒とばねで連結された３連振子 【問題】　　弾性棒とばねで連結された３連振子 運動方程式は，直接変位と力からでも十分書けるが，指示に従ってラグランジアンから導出する。 運動方程式は， と置くと，方程式 を得る。 を消去して， に関する方程式 を解き，対応する振幅 を求めると，規準振動として次を得る。 のとき，　　 のとき，　　 のとき，　　　　 ※Algodooの設定は， である。弾性棒は作れないので，ばねに置き換えた。
  • 【解答】回転の慣性
    【解答】回転の慣性 【問題】　　回転の慣性 (1) ラグランジアンを書き下ろすのが，簡明である。円筒の振動中心からの変位をとして， ただし， は，円筒の慣性モーメント。また， である。微分して運動方程式をつくると， を得る。 (2) (1)の両式からを消去すれば， となり，振動の周期 を得る。 (3) (1)の第２式を積分すれば，振幅 を得る。ちなみに，の振幅は であり，台に対する円筒の振幅はとなる。
  • 月への航行時間
    月への航行時間 アポロ計画などにおける月への航行時間について概算は難しくない。ケプラー第三法則を使うと，アポロの実績に近い値を得た。 OKWaveでみつけた質問。 「宇宙船で地球から月に行くまでに，どれぐらい時間がかかるか？」 一気に加速して，ほとんどの航行時間を慣性で飛ぶというのが効率からして常識である。すると，宇宙船の軌道の長半径は月の公転半径のほぼ半分になるから，ケプラーの第三法則「惑星の公転周期の2乗は、軌道の長半径の3乗に比例する」を用いて概算することができる。 宇宙船の月までの公転軌道（周期）の長半径は，月公転（周期27.3日）の半径のほぼ半分であるから，その周期比は [h] 片道116時間の結果は，アポロの実績103時間に近いものといえるだろう。以上の議論では月の引力を無視していることに留意されたい。月の引力は...
  • 弾性棒とばねで連結された３連振子
    弾性棒とばねで連結された３連振子 OKWaveのQ Aより。弾性棒とばねで連結された３個の質点のモード（規準振動）を求める。 【問題】 平行に等しい間隔 になるように一端を固定された３本の弾性棒の先端に，質量 の質点をつけ，ばね定数 ，自然長 のばねで連結する。弾性棒とばねの質量は無視でき，弾性棒の先端は左右のみに変位し，変位に対して比例定数 の復元力を持つとする。この系のラグランジアンから運動方程式を求め，規準振動を考察せよ。 【解答】弾性棒とばねで連結された３連振子 Algodooシーンのダウンロード
  • 【解答】回転軸連結された２本の棒
    【解答】回転軸連結された２本の棒 外力がないから，全体の重心は静止したままである。重心を原点とし，図のように座標軸をとるとき，左回転する棒の重心（中心）の座標を ，棒の連結軸の座標を とおく。このときの回転角を とすると， 系のラグランジアンは， となる。微分すると， となり，運動方程式 を得る。数値積分して，角速度の変化をプロットすると下のようになった。 Algodoo のシーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=201 file=Arms02.phz
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