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科学のおもちゃ箱 @wiki内検索 / 「合体におけるエネルギー損失」で検索した結果

• 合体におけるエネルギー損失
  合体におけるエネルギー損失 Yahoo!知恵袋の回答を考えて気づいた，直線衝突合体と同軸回転合体のアナロジー。 【問題】 慣性モーメントの二つの物体が共通の軸のまわりをそれぞれ勝手な角速度で回転している。これらの２つの物体が突然つながって１つの物体になった。つながった後の角速度と回転運動のエネルギーの損失を求めよ。 系の角運動量は保存されるから，求める角速度をとすると 合体前後のエネルギー変化は 　　 求めるエネルギー損失は，である。 直線上の衝突合体の場合とアナロジー，というか数学的に同じである。 質量の質点がなめらかな直線上をの速度で運動して衝突合体するとき，合体後の速度をとすると，運動量保存により エネルギー変化は 　　 ここで， 　...
• 相対論における運動エネルギー
  相対論における運動エネルギー ニュートン力学でである運動エネルギーが，相対論でとなるわけ。Yahoo!知恵袋より。 なるべくギャップがない形でニュートン力学の運動エネルギーからの修正を試みようと思う。 まず，運動物体の時間のおくれのために，運動方程式が次のように修正を受ける。簡単のため，１次元運動で考えよう。 そもそも運動エネルギーは，仕事をされた分増加するので，ニュートン力学では， となる。すると，同様に相対論では， 　 　 　 　 となる。この（　　）の中を質量の増加のように見なしてと書くと， となるわけである。 （静止エネルギーという）は有名な式であるが，このエネルギーが運動のために増加した分，すなわちが運動エネルギーであるという解釈ができる。
• 古典力学における運動量とエネルギー
  古典力学における運動量とエネルギー OKWaveにおける回答を再掲する。 古典力学における運動量とエネルギーの原理的意義を整理する。 【質問省略】 次の関係が理解されると，見通しがよくなると思います。 ――――――――――――――（結果←原因） (1) 運動方程式　（加速度←力） (2) 力積-運動量関係（運動量変化←力積） (3) エネルギー原理（運動エネルギー変化←仕事） (2)(3)は，(1)運動方程式をそれぞれ(2)時間，(3)位置座標で積分して得られます。 物体相互に及ぼしあう力積は，作用反作用則により逆向きで等しいので，外力がない場合に系全体の運動量が保存されるわけです。 また，力が保存力のみである場合に(3)の仕事は位置エネルギーの減少分に当たるので力学的エネルギーが保存されることになります。 ...
• エネルギー原理からエネルギー保存へ
  エネルギー原理からエネルギー保存へ Yahoo!知恵袋より。保存力による仕事と位置エネルギーの関係をすっきりさせる。 そのまま転載させていただく。 【質問】運動量と運動エネルギーの違い 私は理系大学生なのですが、はっきりとしたというか、納得のいくような運動量と運動エネルギーの区別の仕方がどうもわかりません。 一通り古典力学は学習したつもりです。 運動量は時間積分・ベクトル量。運動エネルギーは変位で積分・スカラー量。互いに次元も異なる。というのは知っているのですが、じゃあ具体的にどうなるのかというのを考えたときどうもうまく理屈（自分なりの）が合わなくなってしまいます。 というのも、私は高校生に物理を教えることが多く、このような質問をされたときに悩んでしまったということがあったからです。 たとえば、質量[kg]の物体を[m]持ち上げるとして、まあ当然それはエネ...
• 理想気体の内部エネルギー
  理想気体の内部エネルギー の式は，定積変化でなくても使えるのか？という熱力学のFAQ。Yahoo!知恵袋より。 質問概略は上記の通り。 定積変化を考えて，熱力学第１法則により 一般に理想気体において，これが成立する。 定積変化を考えたのは，を用いて内部エネルギーと温度の関係を導くためだけであり，理想気体では＝一定で内部エネルギーが絶対温度に比例することがわかっているため， は，結果的に，定積変化にかかわらずどんな場合にも，理想気体の内部エネルギー変化と温度変化とをつなぐ関係式として使えるわけである。さらにいえば， がただちに示されることになる。 整理すると， (1)理想気体の内部エネルギーは絶対温度のみの関数で，絶対温度に比例する。 (2)熱力学第１法則を定積変化に適用すると，の関係...
• 運動方程式と力学的エネルギー保存
  運動方程式と力学的エネルギー保存 一般に，力学的エネルギー保存則は，運動方程式の経路積分であるエネルギー原理から得られる。よく見かける相対運動の問題場面で，運動方程式から力学的エネルギー保存を導出するという「遠回り」をやってみた。OKWaveのQ Aから。 一般に，力学的エネルギー保存は，運動方程式の経路積分すなわち「エネルギー原理」から得られる。 このエネルギー原理を，よく見かける相対運動の問題場面に適用しようとした優秀な高校生がいた（OKWave）。 「摩擦のない水平面の上に、水平面と角をなすなめらかな斜面を持つ質量の台がある。その斜面上に質量の小物体を置くと小物体と台はともに動き始める」 以下，抜粋。 小物体と台との間の垂直抗力を，台と水平面の間の垂直抗力を，重力加速度の大きさをとする。小物体の方向の加速度...
• 位置エネルギーに関する悩み
  位置エネルギーに関する悩み 「エネルギーとは，物体がもつ仕事をする能力であり，できる仕事ではかる」 これがエネルギーの最も基本的な定義である。ところが，位置エネルギーを同様に定義しようとすると，ちょっと深刻な（？）悩みにぶつかる。 「仕事をする能力」というエネルギーの基礎的な定義にもとづいて，位置エネルギーの定義は， 「物体が，ある位置から基準点まで移動したとき，保存力がする仕事」 となる。 一様な重力ポテンシャル　　の下で，基準から高さ　　にある質量　　の物体がもつ重力による位置エネルギーは， ばね定数　　のばねが自然長から　　だけ伸びているとき，ばねにつけられた物体がもつ弾性力による位置エネルギーは， ちょっと待てよ。気づかれましたか？位置エネルギーは，物体がもつ「仕事をする能力」であるはずなのに，上の定義では仕事をするのは重力（地...
• 運動エネルギーの相対性
  運動エネルギーの相対性 OKWaveのQ Aより。運動エネルギーの相対性とエネルギー保存の絶対性について。 長いので引用は避けるが，要点は次の通りである。 一定の加速度で加速する車を観測する。静止系 では，時刻 に速度 だった車が，時刻 に速度 ，そして時刻 に速度 になったとする。すると時間 に得たエネルギー に対する，時間 に得たエネルギー の比は， となる。後半の方がエンジンの仕事率は1.67倍に増えなければならない。 これを に対して の速度をもつ慣性系 で観測すると， となり，後半のエンジンの仕事率は3倍になってしまう。この矛盾をどう考えたらいいだろうか？　・・・というわけだ。 運動エネルギーは，座標系によって変換されるからもとより相対的である。しかし，エネルギー保存は絶対的...
• Scene10　エネルギーと質量
  Scene10　エネルギーと質量 問題 　ふたたびScene9の問題にある完全非弾性衝突を考察しよう。 　S 系において合体・静止後の質量をとする。もちろん，の意味だ。一方これをS系で見たとき，運動量保存により となるべきだ。すると， 　　　　 　　　　 となる。しかし， なのだから， 　がでなく，それより大きいになったというところに重大な帰結がある。は静止質量だから，運動による質量の増大とは根本的にちがう。運動による質量変化は見る立場によって「そう見える」と解釈することもできるが，この場合は静止質量がからに「正味」の増加をしたことになるのだ！ 　S 系で見ると，衝突後運動エネルギーが0になるが，衝突前の運動の影響が，の形で引き継がれたことになる。明らかに運動エネルギーが質量に変わったように思...
• 直線２連振子のエネルギー
  直線２連振子のエネルギー Yahoo!知恵袋より。軽い棒で連結された２質点を振り子にしたとき，２質点間で力学的エネルギーのやりとりが起こること。 図のような軽い棒に２つの質点のついた振り子を水平位置から振らす，力学的エネルギー保存の問題。 質問者の疑問の主旨は， 「質点が棒から受ける張力は運動方向に垂直で仕事をしないのに，なぜ個別の質点で独立に力学的エネルギーが保存されないのか」 というものである。なかなかよい観点だ。 明らかに２質点間で力学的エネルギーのやりとりが行われているはずだ。つまり，質点が棒から受ける力には運動方向の成分が存在するのである。この点が糸に下げた振り子とは異なる。棒に垂直な分力が質点に仕事をすることで，２質点間にエネルギーの移動が起こっている。 下図はAlgodooによるシミュレーションで，振り子が下へ向かう...
• トップページ
  ...場を求める。 合体におけるエネルギー損失(2012.12.07) Yahoo!知恵袋の回答を考えて気づいた，直線衝突合体と同軸回転合体のアナロジー。 直線２連振子のエネルギー(3)(2012.12.06) 引き続いて直線２連振子の運動方程式を立ててみる。おもりが棒から受ける力（エネルギー移動の主役）を考慮した立式にも挑戦。 直線２連振子のエネルギー(2)(2012.12.06) 直線２連振子のエネルギーの定量的考察を試みた。 直線２連振子のエネルギー(2012.12.04) Yahoo!知恵袋より。軽い棒で連結された２質点を振り子にしたとき，２質点間で力学的エネルギーのやりとりが起こること。 ３体問題８の字解(2012.12.03) 万有引力の下で３連星が同一の８の字軌道を追いかけっこするという，３体問題の８の字軌道解。Algodooによるシミ...
• 浮力による位置エネルギー
  浮力による位置エネルギー 浮力は保存力であり，したがってポテンシャルが定義できる。 浮力による位置エネルギーについて考察してみよう。 一様な密度　　をもった水平断面積　，高さ　　の円筒が，密度　　の液体中，深さ　　（ただし円筒底面の深さ）にあるとする。また，水は多量にあり，物体を沈めたことによる水面の上昇は無視できるものとする。 浮力　　は下向き正として 　　（ ＜ ） 　　（） したがって，浮力による位置エネルギー　　は　　に対しては となる。これは，物体の浮心位置を基準として，水面にある物体と等しい体積の水の，重力による位置エネルギーにほかならない。浮力が本質的に重力によって生じるものであることから当然の帰結であろう。結果的に物体が押しのけた水が水面の高さに行ったと考えてよい。 ＜ ＜ 　の場合には， ...
• 高エネルギー正面衝突の有効性
  高エネルギー正面衝突の有効性 加速された陽子-陽子間の正面衝突が，静止した陽子への衝突に比して有効であること。Yahoo!知恵袋より。 区別のつけやすさからか，問題は陽子-反陽子になっている。 【問題】 陽子の静止エネルギーを938MeVとする。加速器を用いて10GeVに加速した陽子と反陽子を正面衝突させるとき，陽子から見た反陽子のエネルギーはいくらになるか。 【解答】 実験室系からみた陽子・反陽子のエネルギーは， 　…(i) 陽子から見た反陽子の速度をとすると，陽子に対して速度をもつ実験室系に対して，反陽子はの相対速度をもっているから，速度合成則により したがって，陽子から見た反陽子のエネルギーは， 　 　 (i)を代入して， 【別解】 ４元運動...
• 位置エネルギーはどこにあるのか？
  位置エネルギーはどこにあるのか？ Yahoo!知恵袋より。位置エネルギーはいったいどこにあるのか？という議論。　 私の回答をそのまま転載させていただく。 題意があっているかどうかわかりませんが… 基礎物理においても，２つの解釈があり，どちらも使われていると思います。 (1) 「位置エネルギー」は物体がその位置にあることによってもつエネルギーだから，物体がもっている。 (2) 「位置エネルギー」は保存力の場のエネルギーであり，相互作用する物体間の空間にある。 たとえば，ばねの弾性力についても， (1)の立場では，位置エネルギーはばねにくっついた物体が持つ ＝「弾性力による位置エネルギー」という (2)の立場では，位置エネルギーはばねの中にたくわえられている ＝「弾性エネルギー」という たとえば，平行板コンデンサーがもつエネルギーについては...
• 直線２連振子のエネルギー(2)
  直線２連振子のエネルギー(2) 直線２連振子のエネルギーの定量的考察を試みた。 まず，初歩的な計算で最下点までのエネルギー移動を考察しよう。 本来の題意である最下点での速さを求める。 力学的エネルギー保存により ここで， を考慮して解けば， を得る。したがって，おもり１のエネルギー変化は 　　　 同様に　　を得る。 「個別の力学的エネルギー保存が成立するのではないか」 という勘違いとともに多く見られる勘違いは， 「重心の力学的エネルギーは保存するだろう」 というものである。もちろん重心まわりの回転のエネルギーを忘れてはいけない。 重心の軸からの距離および最下点での速さ を考慮すると 失わ...
• イオン化エネルギーと原子の大きさ
  イオン化エネルギーと原子の大きさ イオン化エネルギーは，電気力による位置エネルギーの絶対値に他ならないから，古典的対応で原子の大きさを見積もる情報となる。Yahoo!知恵袋より。 イオン化電圧またはイオン化エネルギーは，電子を束縛状態から遠くに引き離すのに必要なエネルギーだから，原子核（＋残留電子）の電気力による当該電子の位置エネルギー（ 0）の絶対値に等しいと考えることができる。したがって，たとえば第１イオン化エネルギー，アボガドロ数 ，クーロン定数，電気素量として， を計算すると，原子半径のオーダーが導出される。なお，イオン化電圧によれば， となり，さらに簡単になる。 水素の第１イオン化エネルギーは，だから， を得る。なお，よく知られているように水素原子の基底状態のエネルギー準位は，であるから，...
• 重心運動と相対運動のエネルギー
  重心運動と相対運動のエネルギー 質点系の運動エネルギーが，重心運動のエネルギーと相対運動のエネルギーに分離できることの証明。質点系への一般化は面倒だと思いましたが，すっきりまとまりました。 番目の質点の質量を，位置ベクトル，速度ベクトルとする。 すなわち，　 以下，２乗を含めてベクトルの積は内積を意味するものとする。 全質量　　として，系の重心は その速度は， 逆計算が簡明である。 （証明終り）
• 単振動をエネルギー保存から解く
  単振動をエネルギー保存から解く Yahoo!知恵袋より。単振動はエネルギー保存からすっきり解ける好例である。 【問題】 ばね定数 のばねに結ばれた質量 の質点の単振動を考える。この系のエネルギー保存 より速度に対する微分方程式（に関する１階の微分方程式）を求め，単振動の一般解を導出せよ。 【解答】 としてよく，このときの符号はの符号に一致する。 とおくと， これが求める微分方程式である。 とおくと， 上に代入すると， （※複号は分母の根号をはずしたとき に吸収される） すなわち， を得る。
• 直線２連振子のエネルギー(3)
  直線２連振子のエネルギー(3) 引き続いて直線２連振子の運動方程式を立ててみる。おもりが棒から受ける力（エネルギー移動の主役）を考慮した立式にも挑戦。 まずラグランジュ方程式を立ててみる。ラグランジアンは， 微分すると， したがって，運動方程式は となる。実は全体の慣性モーメント を用いて回転の運動方程式を立てればそれですむことであった。 一方，図のようにおもりが棒から受ける力（束縛力）を考慮して，個別に接線方向の運動方程式を立てると， 棒の質量は無視するのだから，棒が単独で受けるトルクはゼロでなければならない。これが，いわゆる束縛条件となる。すなわち， 上２式よりを消去し，連立させても消去すれば を得る。下図はPOL...
• SPring-8による高エネルギーγ線
  SPring-8による高エネルギーγ線 SPring-8においては，電子とレーザーの衝突によって高エネルギー線を得ることができる。これは基本的に電子と光子の弾性衝突問題である。 　SPring-8とは、兵庫県の播磨科学公園都市にある世界最高性能の放射光を生み出すことができる大型放射光施設です。放射光とは、電子を光とほぼ等しい速度まで加速し、磁石によって進行方向を曲げた時に発生する、細く強力な電磁波のことです。SPring-8では、この放射光を用いてナノテクノロジー、バイオテクノロジーや産業利用まで幅広い研究が行われています。SPring-8の名前はSuper Photon ring-8 GeV（80億電子ボルト）に由来しています。 引用：http //www.spring8.or.jp/ja/about_us/whats_sp8/ 3.5eVのレーザーと8GeVの...
• 斜面上のばねによる打ち上げ（エネルギー分配）
  斜面上のばねによる打ち上げ（エネルギー分配） 斜面上のばねによる打ち上げにおいては，運動時間についても追跡したかったので，かなり細かい計算をした。おもりと小球の最高点や運動の概観を得るだけであれば，力学的エネルギーの分配を考えればラクである。 おもりと小球は，ばねの自然長において等しい速さをもって分離するので，系の力学的エネルギーは両者の質量比に分配される。したがってエネルギー保存により， 小球の最高点までの距離をとおけば， また，離れた位置からおもりの最高点までの距離をとおけば， したがって， よっておもりの最高点は となる。また，単振動の振幅は となる。もちろん，これは から得ることもできる。
• 方位角の関数としての惑星のエネルギー
  方位角の関数としての惑星のエネルギー 惑星の位置エネルギーおよび運動エネルギーを，方位角の関数として記述する。Yahoo!知恵袋より。 基本情報として，軌道方程式，軌道角運動量，半直弦 を用いる。参考：運動方程式から軌道方程式まで（３） 位置エネルギーは， 軌道方程式を時間微分して，角運動量を用いると， 運動エネルギーは， 　 　 を得る。ならば円軌道でよく知られたが得られる。 全力学的エネルギーは， となる。
• エネルギーによって軌道長半径が決まること
  エネルギーによって軌道長半径が決まること ケプラーの第１・２法則を前提として，「力学的エネルギーによって衛星の軌道長半径が一意に定まること」の一般的証明。 ほとんど同じだが，２つの方法でやってみた。 【証明１】 力学的エネルギー の円軌道の場合 を用いて これに等しい力学的エネルギーをもつ軌道に対して 第２法則から近地点・遠地点において 以上から ２つの解（近地点および遠地点距離）の和がであることから，長半径がであることが示された。ぎりぎり高校物理レベルにおさまる点がいい。 【証明２】 軌道平面に極座標を適用して，エネルギー保存と角運動量保存を書くと， 両式よりを消去して， 運動が許される範囲は...
• 連星系の相対運動
  連星系の相対運動 そもそも相対座標と換算質量について整理しておこうと思ったきっかけになった問題です。 http //okwave.jp/qa4621254.html 万有引力を及ぼしあう２質点の運動のおおまかな解析。 【問題】　　※一部改題 質量の２質点が，相互の万有引力だけを受けて運動する。 直交座標による初期位置は，それぞれ 同様に初速度は， であるとする。ただし，　は長さの定数，　は速さの定数である。 (1) 重心系において２質点の運動が定常的な円運動になるための条件を求めよ。 (2) 全運動エネルギーが最大・最小となるときの２質点間の距離を求めよ。 (1) 重心系における の初速度は， として となる。このとき，明らかに速度は動径に垂直であるから，円運動の方程式から 両者は結局は同じ式になり， とな...
• Index（日付順）
  ...12.12.09) 合体におけるエネルギー損失(2012.12.07) 直線２連振子のエネルギー(3)(2012.12.06) 直線２連振子のエネルギー(2)(2012.12.06) 直線２連振子のエネルギー(2012.12.04) ３体問題８の字解(2012.12.03) エネルギーによって軌道長半径が決まること(2012.11.27) 第１宇宙速度による投射(2)(2012.11.24) 第１宇宙速度による投射(2012.11.22) 運動の法則は力の定義か？(2012.10.16) 速度の変化と速さの変化(2012.10.08) 流星群の衝突(2012.08.08) 棒でつながれた質点系の運動(2012.05.20) 円板の斜衝突合体(2012.05.06) 速度に比例する抵抗を受ける水平投射(2012.05.03) 定力で引かれる鎖の運動(2012.04.22) 浮力による永...
• 【解答】おわんとおはしの問題
  【解答】おわんとおはしの問題 【問題】　おわんとおはしの問題 (1) (2)への発展のために，力のつりあいからでなく，位置エネルギーを最小とする位置を求める。 棒と半球の接点を原点に，水平方向に軸，鉛直下方に軸をとる。棒の重心の座標・速度成分は，水平方向からの角度として 速さをとして， 運動エネルギー，位置エネルギーは， となる。 において，これがゼロになるから， を得る。 (2) ラグランジアンから運動方程式を導出して近似してもよいが，より簡明と思われるエネルギー保存を用いる。 エネルギーは， つりあい位置　からの微小角変位とすると。 最大運動エネルギー＝初期位置とつりあい位...
• 高エネルギー荷電粒子のサイクロトロン運動
  高エネルギー荷電粒子のサイクロトロン運動 OKWaveの質問に関連して，ちょっと勉強させてもらった。サイクロトロン運動の相対論的な扱いについて。 質量，電荷の粒子が磁場中を運動する場合，運動方程式は， ローレンツ力は速度に対して常に垂直で仕事をしないから，粒子のエネルギー は保存される。いいかえれば，である。これを考慮して，サイクロトロン運動の角速度を用いて運動方程式を整理すると， すなわち，非相対論的なものと比較して，質量をに，サイクロトロン振動数をに置き換えればよい。サイクロトロン運動の半径と粒子の運動量は， となる。 【参考】「電磁気学II」太田浩一，丸善物理学基礎コース
• 力学系と内力・外力
  力学系と内力・外力 複数の物体からなる力学系の運動においては，内力と外力の区別はとても重要になる。 たとえば，軽くて摩擦が無視できる定滑車にかかった糸の両端に，質量の異なるおもりが下げられている系を考えよう。おもりの質量を　（ ）とし，糸の張力を　，重力加速度の大きさを　　とする。両者の加速度の大きさを　　として，運動方程式は となる。辺々加えて整理すると， を得る。これが系全体の運動方程式ということもできるだろう。 さて，ここで張力は内力で，重力は外力であるといえる。内力である張力は，軽くて伸び縮みしない糸の両端の張力は等しいという「張力の原理」によって系全体の運動方程式においては相殺されて消える。この内力の相殺は一般には作用反作用の法則によって起こる。糸も系の一部として個別に考えれば，作用反作用が現れることになる。練習として，初速0...
• 連結による内部衝突問題
  連結による内部衝突問題　検討の余地あり Yahoo!知恵袋より。２球を連結したことによって系内部にエネルギー散逸を生じる運動。 【問題】 図のような（陸上競技のトラックのような）半円と直線でできたレールにそって小球を滑らせる。摩擦や抵抗が無視できれば小球は初速度を保って滑り続ける。 次に2個の小球を軽い棒で連結し同じ実験をすると小球は減速し停止する。なぜか？ 最初のエネルギーは何に変換されたか？ 他の回答者とのやりとりは極力のぞいて，ほぼそのまま転載させていただく。 棒による束縛によって２つの小球の距離が拘束されています。束縛がなければ，小球はレールに沿った等速を保ちますが，束縛があることで等速を保てなくなります。 ２つの小球をつながないで滑らせた場合，２球は曲線部分でもレールにそった長さにおいて等間隔を保ちますが，これは棒でつな...
• Index（内容別）
  ...12.12.13) 合体におけるエネルギー損失(2012.12.07) 直線２連振子のエネルギー(3)(2012.12.06) 直線２連振子のエネルギー(2)(2012.12.06) 直線２連振子のエネルギー(2012.12.04) ３体問題８の字解(2012.12.03) エネルギーによって軌道長半径が決まること(2012.11.27) 第１宇宙速度による投射(2)(2012.11.24) 第１宇宙速度による投射(2012.11.22) 運動の法則は力の定義か？(2012.10.16) 速度の変化と速さの変化(2012.10.08) 流星群の衝突(2012.08.08) 円板の斜衝突合体(2012.05.06) 速度に比例する抵抗を受ける水平投射(2012.05.03) 定力で引かれる鎖の運動(2012.04.22) 浮力による永久機関(2012.04.09) ばねで支持された台へ...
• Phunにおける擬似遠心力と水面の形
  Phunにおける擬似遠心力と水面の形 Phunで，回転する円筒容器に入った水の水面が放物面になるのをシミュレートできないかと思った。２次元シミュレータではちょっとムリ？　そこで擬似遠心力をつくってみた。 遠心力は，物体の質量，回転半径，回転の角速度として， であるから，回転半径に比例する。 距離に比例し，なおかつ軸対称な力などPhunでは用意されていない。そこで，逆２乗引力を用いて，近似的に距離に比例するような擬似遠心力をつくってみた。 質量に対して逆２乗引力をもつ円を，回転円筒から遠く離して，軸に平行に多数並べる。 無限個数を並べた場合，座標にある長さの部分が，にある質点に及ぼす力の方向成分を と書けば， となる。この距離に反比例する力は，「平面」でも設定できるが，残念ながら平面はPhun実行時に動かす...
• 【解答】すべるブロックに連結した振子
  【解答】すべるブロックに連結した振子 (1) 小球の最下点における，小球およびブロックの速度を とおくと，運動量の水平成分は保存されるから， またエネルギー保存により， (2) ※実際には の方向は逆向きである。 ある時刻における糸の角度を ，小球およびブロックの水平位置座標を ，水平速度成分をとおくと，水平方向の運動量保存により このとき系のエネルギーは， と書ける。上の結果および微小角の近似を用いて， また， によって， 一般に，単振動をする系のエネルギーは と書け，このとき周期は となる。比較により であるから求める周期は， となる...
• 中心力下の円運動まわりの微小振動
  中心力下の円運動まわりの微小振動 久しぶりに，「目からウロコ」の教育的示唆に富む問題に出会った。の累乗に比例する中心引力下で質点が円運動をするとき，そのまわりの微小振動に関する問題。Yahoo!知恵袋より。 【問題】 質量の粒子が,中心力ポテンシャル の下で原点を中心とする半径の円軌道を描いて運動している。ただしは正の定数，はかつを満たす定数である。 (1)　このときの粒子のエネルギー，角運動量，運動の周期を求めよ。 (2)　この円運動のまわりで半径方向に微小運動を行うときの振動数を求めよ。また，この微小振動が存在するときの軌道の略図をのそれぞれの場合について描け。 【解答】 (1) 中心力は， 速さをとして，円運動の方程式は したがって， 運動エネルギー： ...
• 【解答】円弧状の面をもつ台と小球
  【解答】円弧状の面をもつ台と小球 (1) とびだすときの速さを とすると，エネルギー保存により 最高点における速さは，とびだし速度の水平成分の大きさ に等しいから，あらためてエネルギー保存により， ※　または，鉛直方向の等加速度運動について (2) 小球のとびだし速度の水平・鉛直成分の大きさを ，そのときの台の速さを とする。 水平方向の外力はないから，運動量の水平成分は保存される。 また，台から見た小球のとびだしにおける相対速度は，図のように仰角60°方向を向く。 したがって， エネルギー保存により， を代入して， を得る。求める最高点の高さを とおくと，あらためてエネルギー保存により ...
• 雪崩の単純化モデルについて
  雪崩の単純化モデルについて 以前，雪崩の単純化モデルについて考察したことがあった。同様の問題がYahoo!知恵袋に現れ，リンクを紹介したところ，「巻き取りモデル」へのご批判をいただき，考察を深めてみた。 まずは，雪崩の単純化モデルを再掲。 【問題】 水平との角をなす斜面に一様に積もった雪が上部から次々に積み重なりながら落ちるときの雪崩の加速度を求めよ。雪塊の大きさは無視し，すべりはないものとする。 雪崩が起き始まる位置を原点として斜面下方に軸をとる。 雪の密度を，雪崩を起こす積雪の断面積をとすると，雪崩の位置がのとき雪塊の質量は， . この雪塊が微小時間の間に，長さ，質量 の雪を巻き込みながら進む。 これは，基本的に完全非弾性衝突＝合体と考えることができる。 このとき，運動量-力積関係は となる。両辺をで割って２次の微少量を落...
• 星空のパラドックス
  星空のパラドックス 光の二重性について考えていたとき，「星が見えるか見えないか」という問題に関わるパラドックスをたまたま２つ同時に思い出した。いずれもその解決が現代物理学の暁を告げる相対論と量子論に関連し，またその発端を開いたのが同一人物＝アインシュタインであることに驚きを禁じえない。 (1) 星空は昼間のように明るい（オルバースのパラドックス） 宇宙に太陽のような恒星が，一様な数密度 で散らばっているとする。1個が単位時間当たりに放つエネルギーを平均 とすると，距離 にある恒星から届く単位面積当たりエネルギーは， これを，半径 までの距離にある恒星について和をとれば， 無限大宇宙では，空の明るさは無限大になってしまう。 もうちょっと，くだいた説明では， ある距離 にある球殻内の星の数を考える。星の光のエネルギ...
• ダークマターが公転に与える影響
  ダークマターが公転に与える影響 OKWaveのQ Aより。球対称の不明の質量分布（ダークマター）が太陽系に存在する場合の地球の運動について。 【問題】 　太陽系における地球の運動を考える。太陽の質量を 、地球の質量を とする。簡略化のため、それぞれを質点とみなし、地球以外の惑星の存在は無視する。太陽の質量は地球の質量に比べて十分に大きく、太陽は動かないものとする。ただし、太陽と地球以外に、ある物質A が太陽系全体に分布しているとする。 　このとき、以下の問いに答えよ。物質Aは、太陽を中心として球対称に一様な密度 で分布し、太陽系の外（地球の軌道から十分に離れたところ）には存在しないとする。また、地球と物質Aの摩擦は無視できるとし重力のみ考えればよい。重力定数は とする。 問１　太陽を中心として、地球の位置を で表す。この点でのポテンシャルエネルギーを と...
• 2011年のページ
  2011年のページ 力学系と内力・外力 複数の物体からなる力学系の運動においては，内力と外力の区別はとても重要になる。再掲。 浮力による位置エネルギー 浮力は保存力であり，したがってポテンシャルが定義できる。 浮力による位置エネルギーについて考察してみよう。 Yahoo!知恵袋でこれに関する質問があったので，過去につくったページを再掲。 水位下降速度一定のタンク形状(2011.12.15) ４次関数を軸まわりに回転させた形状のタンクの底に小孔をあけると，排水による水位下降の速度が一定になる。Yahoo!知恵袋より。 拘束系と半拘束系(2011.11.13) すべる棒が壁を離れるときの問題に「壁を離れない」拘束を付加して比較してみた。 母星質量が突然半減したときの惑星軌道(2011.11.08) 恒星の質量が突然半分に減少したとき，円軌道を公転していた...
• たまごころりん
  たまごころりん Yahoo!知恵袋のQ Aから。なま卵とゆで卵を並べて斜面を転がすと，どっちが早くゴールに着くか。 質問者の予想は，なま卵の勝ち。 回答は両者に分かれた。やや怪しい内容だが，ひとまず私の回答をそのまま紹介する。 やってみました。 ゴールまで大きな差はありませんが，おっしゃるとおりの結果でした。 ゆで卵のほうが，スロースターターという感じで十中八九なま卵の勝ち。 内部摩擦によるエネルギー散逸よりも，慣性モーメント（回転の慣性）の大きさの方が影響が大きいようですね。もちろん，内部の摩擦による損失はゴールのときの最終速度に影響して，もしゴール時になま卵の中身もすっかり回転しているならば，ゆで卵の方が少し速くなるのでしょう。しかし，それは到達時間が早いことを必ずしも意味しませんね？実験で用いた１ｍ程度の転がりでなま卵内で散逸される力学的エネルギ...
• 相対運動と換算質量
  相対運動と換算質量 ２質点が相互作用を及ぼしあいながら運動する２体系について考察しよう。 質量がの２質点の位置をとし，また相互作用は， と書けるものとする。簡単のため外力はないものとしよう。 ２質点の運動方程式は， 　---(1) 　---(2) となる。辺々加えると， ここで，系の総質量を用いて，系の重心の座標を と書けば，重心の運動方程式 　---(3) を得る。外力があれば，それが右辺にくることになる。 また，２質点の運動方程式から が得られ，換算質量 および，相対座標を用いて， 　---(4) と書けることになる。これが相対運動の運動方程式である。 (1)(2)の運動方程式が，同値な２つの運動方程式(3)(4)に書き換えられたことになる。 もちろん，重心系において２つの質点の運動方程式をそれ...
• 有効ポテンシャルと惑星の軌道
  有効ポテンシャルと惑星の軌道 Yahoo!知恵袋への回答をきっかけに，有効ポテンシャルと惑星の軌道の関連について整理してみた。 太陽を原点とし，太陽および惑星の速度を含む軌道面上における平面極座標をとする。 惑星の力学的エネルギーは， 角運動量保存により， したがって， を得る。ここに， は動径方向を１次元運動として取り出して解析するのに用いられる「有効ポテンシャルエネルギー」である。第１項は遠心力のポテンシャルエネルギーといえる。 は上図のような形状になり， となる範囲で運動が起こる。惑星の力学的エネルギーの大小によって，軌道は次のように分離する。現実の惑星はもちろん，(3)に当たる。の最小値をとするとき，である。 (1) のとき 惑星はいかなる...
• 圧力が体積に比例する理想気体の変化
  圧力が体積に比例する理想気体の変化 「かぎしっぽ」の質問から。にしたがって変化する理想気体の熱力学。 問題：理想気体の状態方程式に従うの気体があり、（ただしは比例定数）で体積をからに変化させる。として、終状態までに(1)気体がする仕事、(2)吸収する熱、(3)内部エネルギーの変化を求めよ。 気体がする仕事は， 　....　(1) 定積比熱は，定積変化（）において熱力学第一法則により であるから， と書ける。 また，定圧比熱は，定圧変化（）において熱力学第一法則により であるから 一方，だから となる。 さらに， において，，だから， 結局，内部エネルギーの変化は 　....　(3) となる。 この変化における熱力学第一法則により，吸収する熱は 　....　(2...
• 人工衛星の回収
  人工衛星の回収 Yahoo!知恵袋より。円軌道を周回する人工衛星を地上に回収するために必要な「燃料」の質量を求める。 【問題】 高度の円軌道を周回する総質量の人工衛星がある。この人工衛星の軌道をガスの噴射によって変え，衛星を地上に回収したい。噴射は瞬間的に行い，噴射直後のガスは衛星に対しての相対速さをもつものとする。衛星に搭載すべき必要最低限のガスの質量を求めよ。ただし，地球半径を，地上の重力加速度をとし，空気抵抗は無視できるものとする。 【解答】 解答のシナリオは次の通り。 (1) 円運動の方程式より周回速さを得る。 (2) 角運動量保存とエネルギー保存により近地点を地表とする遠地点速さを得る。 (3) 運動量保存により周回速さを目的の遠地点速さに変えるようなガス質量を得る。 (1) 万有引力定数，地球質量をとすると，円軌道に...
• V．運動方程式
  V．運動方程式 ニュートンの運動方程式 は，と書きかえるだけでそのまま使えるのだった。これは，3次元ベクトルとの因果関係を表すベクトル方程式になっている。3次元空間ベクトルは座標系の平行移動や回転によって成分は変わるが，向きと大きさというベクトルの本質は変わらないから，運動方程式の形そのものは保たれる（運動方程式は空間の平行移動や回転に対して共変的であるという）。 　ところが，さらにつっこんで考察をすすめると上の形は相対論の成果を十分とりいれたものになっていない。問題点は次の2つ。 　　(1)　ローレンツ変換によって形が保たれない。 　　(2)　4元ベクトルの時間成分を含んでいない。 つまり，上の形はニュートンの方程式に相対論のメッキをかけたようなもので，あまりかっこよくない。われわれは中身もろともに相対論を浸透させたいのである。 　(1)の解...
• 2010年のページ
  2010年のページ 月の公転周期(2010.12.13) 月の公転周期を計算してみる。精度よく計算するためには，２体問題としての考察が必要である。 動摩擦力を受ける水平ばね振子(2010.12.11) 一定の動摩擦力によって，振動中心を半周期ごとに変えて減衰振動するばね振子。OKWaveから。 球面に拘束された質点の運動(2010.12.07) 一様な重力下で固定された球面に拘束された質点（球面振子）の運動の解析。Yahoo!知恵袋から拾ったネタ。 ０の０乗は？(2010.11.30) たまたま同僚と話題になったこと。０の０乗は何だろうかという話。 回転系から見た等速直線運動(2010.11.24) 回転円板の上で見た等速直線運動を解析する。Yahoo!知恵袋より。 反対称テンソルの成分展開(2010.11.18) 反対称テンソルをLevi-Ci...
• 回転容器から水があふれる条件
  回転容器から水があふれる条件 OKWaveの質問から。円筒形の容器を軸まわりに回転させるとき，中に入れた水があふれ出す回転数を求める問題。 【問題】 内径60cm、高さ120cmの円筒形容器に半分だけ水を入れておき、その容器を鉛直のまわりに回転させたとき、回転数がいくらになったら水があふれ始めるか。 容器の底面中心を原点に，円筒座標をとる。問題の場合，m，mである。回転の角速度をとすると，容器とともに回転する座標系において，にある質量の質点が受ける力は， である。したがって，における遠心力を含む有効ポテンシャルエネルギーは， となる。等ポテンシャル面が水面になるから，水面は， で表される放物面になる。これを水面とするとき，水の体積は これが，もともと容器の容積の半分であったから， ...
• 『Phun』 でヒットペット
  『Phun』 でヒットペット Interactive Physicsへのnさんからのコメントにより思い立って，物理シミュレーションソフト『Phun』でヒットペットを試してみた。残念ながら初期条件の設定ができるのかさえわからず，しかたなく初速度を与えるマシンをそなえつけた。これはこれで自分で実験している気分にもなり，なかなかおもしろい。新しい発見もあった。 運動の軌跡を残す機能はみつけられなかったので，スクリーンコピーにより切り貼りして，シミュレーション結果をまとめたのが下図である。 動きはIP（Interactive Physics）よりなめらかでリアルであり，『Phun』の物理シミュレーションエンジンの優秀さを物語っている。 このシミュレーションでひとつ大きな成果があった。私の解析では下の質点が床から離れないものと仮定したが，ペットボトルの起き上がりで...
• 【解答】円柱の段差乗り上げ
  【解答】円柱の段差乗り上げ 【問題】　円柱の段差乗り上げ 突起との衝突時に受ける撃力は，突起まわりのトルクを持たないので，突起まわりの角運動量は衝突前後で保存される。衝突直後の角速度をとすると， 衝突後のある時刻における，突起と中心を結ぶ半径の仰角として，エネルギー保存則により 突起を越える限界において，のときより について整理すると， 題意に沿う範囲は， となる。 ぎりぎり乗り上げたところ（)
• 第１宇宙速度による投射
  第１宇宙速度による投射 Yahoo!知恵袋の質問にヒントを得て，第１宇宙速度による斜方投射の着地点について考察してみた。 【問題】 第１宇宙速度によって地表から仰角で発射された物体の着地点は，発射点からの中心角での地点になることを証明せよ。ただし，空気抵抗や地球の自転の影響は無視できるものとする。 【解答】 第１宇宙速度は， ただし，：万有引力定数，：地球質量，：地球半径 である。軌道の遠地点および近地点（地球内部）の距離を，そこでの速さをとすると，エネルギー保存により また，角運動量保存（面積速度一定）により 両式よりを消去するとに関する２次方程式を得る。 これを解くと遠地点・近地点距離 を得る。結果として，エネルギーが決まれば長半径は決まり，この問題では軌道長半径はに等しい...
• 回転する放物線上に束縛された質点
  回転する放物線上に束縛された質点 物理のかぎしっぽの掲示板から。鉛直軸まわりに定速回転する放物線上に束縛された質点の平衡と安定性を問う。 【問題】 軸を鉛直線とする放物線 (は正の定数)の上に質点が滑らかに束縛されている。この放物線を軸の周りに一定の角速度で回転させる時，質点の平衡位置を求め，その安定性を述べよ。 【解答】 原点から放物線に沿って測った長さを質点の位置として，これに対する運動方程式は， ただし，は位置における放物線の傾き角で， である。上式に代入して両辺にをかければ これを積分すると， を得る。遠心力を含むポテンシャルエネルギーは直接の積分によって明らかであるから以上の手続きは冗長であるが，方向の１次元運動に対する有効ポテンシャル がまさ...
• @wiki全体から「合体におけるエネルギー損失」で調べる

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