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撃力を受けた回転軸連結棒の速さ
撃力を受けた回転軸連結棒の速さ 「ファインマン物理学」演習より。回転軸連結された２本の棒と同じ系で，一端に撃力を受けた場合の2本の棒の速さの比を求める。 【問題】（大学レベル） 同じ長さの棒AB，ACが，Aでなめらかな蝶番で連結されている。そしてAC⊥ABになるように，なめらかな水平面においてある。C点でACに垂直に水平な撃力を与える。その直後のABおよびACの重心速度の大きさの比を求...
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【解答】撃力を受けた回転軸連結棒の速さ
【解答】撃力を受けた回転軸連結棒の速さ 棒の質量を ，長さを とおくと，重心まわりの慣性モーメントは である。棒ACがC点で受ける力積を ，A点で受ける力積を とする。直後のAB,ACの重心速度の大きさを ， とおくと， また，棒ACの角速度を とおくと， が成立する。以上より を消去すると， を得る。 ...
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撃力を受けた連結棒の運動
撃力を受けた連結棒の運動 ２本の棒が回転軸連結された系の一端が撃力を受けたときの運動。OKWaveより。 【問題】 たがいに等しい一様な２つの棒Ａ，Ｂ（長さ，質量）が，滑らかに連結されていて，滑らかな水平面の上に一直線に横たえてある。棒Ｂの自由端をちょうつがいでとめ，棒Ａの自由端に，棒に直角に水平な撃力を与えた。 (1) 撃力を受けた瞬間，棒はどのように動くか。 (2)...
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【解答】撃力を受けた連結棒の運動
【解答】撃力を受けた連結棒の運動 【問題】 撃力を受けた連結棒の運動 図のようにA,Bの角変位をとおく。ただし，A,B逆向きにとりいずれも正とする。また，A,Bの連結点における抗力の大きさをとする。Aが受ける抗力はと同じ向き，Bが受ける抗力はと逆向きである。 撃力を受けている間のAの重心の加速度をとおくと， の関係がある。 Aの運動方程式 ...
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回転軸連結された２本の棒
回転軸連結された２本の棒 OKWaveの質問をきっかけに，一端を連結軸として慣性で逆回転する２本の棒の運動を解析する。 【問題】（大学レベル） 質量 ，長さ の２本の棒が，一端を摩擦抵抗のない回転軸で連結されている。２本が重なった状態から，互いに逆回転の初期角速度を与えた場合，その後の慣性運動（外力なし）を求む。 【解答】回転軸連結された２本の棒
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2010年のページ
...性について。 撃力を受けた回転軸連結棒の速さ(2010.01.02) 「ファインマン物理学」演習より。回転軸連結された２本の棒と同じ系で，一端に撃力を受けた場合の2本の棒の速さの比を求める。 ばね振子への衝突合体(2010.01.02) 「ファインマン物理学」演習より。鉛直ばね振子がおもりと等質量の小球の衝突合体を受けて振動を始める。 加速する斜面から飛び出す物体(20...
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【解答】回転軸連結された２本の棒
【解答】回転軸連結された２本の棒 外力がないから，全体の重心は静止したままである。重心を原点とし，図のように座標軸をとるとき，左回転する棒の重心（中心）の座標を ，棒の連結軸の座標を とおく。このときの回転角を とすると， 系のラグランジアンは， となる。微分すると， となり，運動方程式 を得る。...
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Index（内容別）
...10.01.03) 撃力を受けた回転軸連結棒の速さ(2010.01.02) ばね振子への衝突合体(2010.01.02) 加速する斜面から飛び出す物体(2010.01.02) 支点の上下する振子(2010.01.01) ターンテーブル上を歩く虫(2009.12.31) 衝突する振子のついた台車(2009.12.30) ウェイトのついたターンテーブル(2009.12.29) 棒が回転軸から受け...
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二重連結棒の水平面回転
二重連結棒の水平面回転 二重連結棒をなめらかな水平面上で回転させるとき，定常回転時に生じる振動の問題。Yahoo!知恵袋より。 【問題】 図のように、2本の等しい一様な棒OB,BCが滑らかなちょうつがいで点Bにおいてつながれ、点Oを固定点として水平面内で自由に回転する。棒の質量をそれぞれ、長さをとし、水平面に対して垂直上向きに軸をとり、図のようにとをとる。 (1) 系...
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【解答】二重連結棒の水平面回転
【解答】二重連結棒の水平面回転 【問題】→ 二重連結棒の水平面回転 (1) OBの重心座標，BCの重心座標とおくと， これらを時間微分して， を得る。 (2) を微分して運動方程式を立てると， を得る。 (3) の定常回転では左辺はすべてゼロになるので， ...
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Index（日付順）
...10.01.03) 撃力を受けた回転軸連結棒の速さ(2010.01.02) ばね振子への衝突合体(2010.01.02) 加速する斜面から飛び出す物体(2010.01.02) 支点の上下する振子(2010.01.01) 2009.12(35) ターンテーブル上を歩く虫(2009.12.31) 衝突する振子のついた台車(2009.12.30) ウェイトのついたターンテーブル(2009.12...
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Algodoo物理分野別リスト
Algodooで物理問題に挑戦！（分野別リスト） ※は重複掲載。 静力学 静定ラーメンの反力(2012.03.25) ２球を入れた円筒の安定(2011.06.25) 回転方向で差のあるブレーキ(2011.01.11) おわんとおはしの問題(2010.06.13)※ 仮想仕事の原理(2010.05.04) 壁に立てかけた立方体(2009.12.21) つるした棒のつりあい(2009.12...
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Algodooで物理問題に挑戦！
Algodooで物理問題に挑戦！ --- あなたは - 人目のお客様です。 --- 物理シミュレーションソフトAlgodooでシミュレーションをしながら，物理の問題を解いてみよう。 Algodoo物理分野別リストはこちら。 『Phun』による力学シミュレーションはこちら。 ばねと摩擦のおもちゃ Algodoo2.jpg 「Algodooで学ぶ力学」...
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中心軸が連結された２円板
中心軸が連結された２円板 Yahoo!知恵袋から拾ったネタ。中心軸が棒で連結され，摩擦によって転がりに移行する２円板の系の運動 【問題】 図のように，質量およびで半径およびの一様な２円板が，相互の回転軸を軽い棒で連結された状態で，摩擦のない水平面上で初期角速度およびで相互にすべり始める。連結棒は初め回転していなかったものとして，すべりが転がりに移行した後の２円板の回転の角速度，および系...
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1.Phun空間
1.Phun空間 『Phun』が提供するシミュレーションの舞台としての空間をPhun空間と呼ぶことにしよう。Phun空間は，2次元積層空間である。A～Gの7枚＋背景の2次元層空間が積み重なった構造をもち，物体の属性としていずれの層空間に存在するか，すなわちいずれの層空間に属する物体群と衝突するかを設定することができる。 同一層空間にある物体は互いに，Hinge［回転のしるし］（回...
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【解答】回転方向で差のあるブレーキ
【解答】回転方向で差のあるブレーキ 【問題】 回転方向で差のあるブレーキ ポイントは，台木がロッドBCから受ける力にある。ロッドは回転軸連結されているので，台木が受ける力はロッド方向になる。これが回転方向によって方向がひっくり返るわけだ。 台木を着目物体として図のように力を設定し，そのつりあいを考える。 時計回りのときのつりあい 両式...
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【解答】２直線に束縛された振子
【解答】２直線に束縛された振子 (1) 重力の影響がない場合 図のような状態で，鉛直方向からの棒の角度を とおくと，おもりの位置は 速度成分は， したがって，ラグランジアンは となる。 より運動方程式をつくり，整理すると を得る。 (2) 重力が...
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正方形枠の回転
正方形枠の回転 正方形に回転軸連結したリンクの回転を解析する。 正方形に組んだリンクの左下が固定軸，その他は自由軸である。 (1) 自由回転 まず，自由回転について解析する。図のようにおくと，系のラグランジアンは となる。ラグランジュ方程式をつくり，２階微分について解いて整理すると を得る。 (2) 定トルク...
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連結棒振子のカオス
連結棒振子のカオス この話題では，本来「バンジー問題（くさり効果）の解析」の連結棒振子のおもりをとったものが解析しやすく，そのシミュレーションは『Phun』のサンプルシーンにも含まれているが，せっかく解析に成功したので，その後の振子の挙動を追跡してみた。 地面をとりはらって，3秒間のおもりの運動を追跡した。黄色い線が『Phun』によるその軌跡である。 一方，計算ソフトMath...
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【解答】棒が回転軸から受ける力
【解答】棒が回転軸から受ける力 棒の長さを ，求める力を とする。 棒の重心の運動方程式は，下向き加速度 として 重心まわりの回転の運度方程式は，右回り角加速度 により 両式より を消去して， を得る。
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棒が回転軸から受ける力
棒が回転軸から受ける力 「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。 【問題】（大学レベル） 質量 の細い一様な棒が水平に一端は支点に支えられ，他端は糸で支えられている。糸が燃やされると，その直後に棒によって支点にかけられる力はどれほどか。ただし，重力加速度の大きさを とする。 【解答】棒が回転軸から受ける力 Algodoo シーン http //ww...
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2011年のページ
2011年のページ 力学系と内力・外力 複数の物体からなる力学系の運動においては，内力と外力の区別はとても重要になる。再掲。 浮力による位置エネルギー 浮力は保存力であり，したがってポテンシャルが定義できる。 浮力による位置エネルギーについて考察してみよう。 Yahoo!知恵袋でこれに関する質問があったので，過去につくったページを再掲。 水位下降速度一定のタンク形状(2011...
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瞬間の回転軸と慣性モーメント
瞬間の回転軸と慣性モーメント 半円筒の転がり振子（修正）でのすったもんだを経た決着を見て，この運動の考察を始めたときにふと気づいた「定理」を確認するときがきた。すなわち， 「剛体の回転を含む運動において，瞬間の回転軸まわりの慣性モーメントを平行軸の定理により （は重心まわりの慣性モーメント，は瞬間回転軸から重心までの距離） とすれば，角速度に対応する剛体の運動エネルギーは，であ...
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連結による内部衝突問題
連結による内部衝突問題 検討の余地あり Yahoo!知恵袋より。２球を連結したことによって系内部にエネルギー散逸を生じる運動。 【問題】 図のような（陸上競技のトラックのような）半円と直線でできたレールにそって小球を滑らせる。摩擦や抵抗が無視できれば小球は初速度を保って滑り続ける。 次に2個の小球を軽い棒で連結し同じ実験をすると小球は減速し停止する。なぜか？ 最初のエネ...
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速度に直交する力を受ける運動
速度に直交する力を受ける運動 等速円運動する物体は，速度に直交する向心力を受ける。逆に速度に直交する力を受ける物体は等速円運動をするだろうか？Yahoo!知恵袋より。 【問題】 常に速度と直交する力（ただしは定ベクトル）が働くなら質点は等速円運動することを証明せよ。 【解答】 簡単のため，とする。 質量，速度とすると運動方程式は， …(i) ...
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2009年のページ
2009年のページ ターンテーブル上を歩く虫(2009.12.31) 「一般力学30講」（戸田）より。上で虫が円を描いて歩くときのターンテーブルの回転。 衝突する振子のついた台車(2009.12.30) 京都府医大'08を参考にしたオリジナル問題。 ウェイトのついたターンテーブル(2009.12.29) 「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。 棒が回転軸か...
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動摩擦力を受ける水平ばね振子
動摩擦力を受ける水平ばね振子 一定の動摩擦力によって，振動中心を半周期ごとに変えて減衰振動するばね振子。OKWaveから。 一定の動摩擦力を受けて減衰する水平ばね振子においては，振動中心が半周期ごとに変わる。 自然長位置を原点として，初期条件 の場合の解を求める。最初の半周期における運動方程式は， 各文字の意味は説明を要しないだろう。これは， ...
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遠心分離の速さ
遠心分離の速さ 遠心分離機による水中微粒子の分離速度の問題。Yahoo!知恵袋より。 質問で理論的に必要な情報は与えられている。まず，直径の粒子の体積は 粒子の密度，溶液の密度，回転の角速度として，粒子の半径位置に対する運動方程式は， したがって， ここに，は溶液の粘性係数であり，したがって第２項はいわゆるストークス抵抗（粘性抵抗）で...
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『Phun』による力学シミュレーション
『Phun』による力学シミュレーション --- あなたは - 人目のお客様です。 --- 物理シミュレータ『Phun』は，重力・空気などの力学的環境および物体の（2次元）形状はもとより密度・質量・摩擦・弾性など，物体と力学的物性について設定が可能なシミュレーションソフトウェアである。したがって2次元運動に限定されるとはいえ，高校や大学初等の物理でみかけるような多くの力学的状態や運動を...
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パップス－ギュルダンの定理
パップス－ギュルダンの定理 下記はWikipediaより 「平面上にある図形Fの面積をとし，Fと同じ平面上にありFを通らない軸Lの回りで Fを一回転させた回転体の体積をとする。回転させる図形Fの重心Gから回転軸Lまでの距離をとしたとき、次式が成り立つ。 この式は、 ( 回転体の体積) = (回転による図形Fの重心Gの軌跡の長さ)×(図形Fの面積) と解釈することができる。」 ...
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「計算バカ」への戒め
「計算バカ」への戒め 数学を道具として使い慣れると，「計算バカ」に陥りますよ・・・という自分への戒め。 【問題】 起電力が一定で内部抵抗が無視できる電源に，図のように電気抵抗 の抵抗およびレールAB,CDをつなぐ。全体紙面上向きに磁場がかかっているとする。右端から抵抗の無視できる導体棒を一定の速さ ですべらせるとき，AP間の電圧 の時間変化を表すグラフとして適するものを選べ。（答...
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Phunにおける擬似遠心力と水面の形
Phunにおける擬似遠心力と水面の形 Phunで，回転する円筒容器に入った水の水面が放物面になるのをシミュレートできないかと思った。２次元シミュレータではちょっとムリ？ そこで擬似遠心力をつくってみた。 遠心力は，物体の質量，回転半径，回転の角速度として， であるから，回転半径に比例する。 距離に比例し，なおかつ軸対称な力などPhunでは用意されていない。そこで，逆２...
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【解答】つまづいて倒れる直方体
【解答】つまづいて倒れる直方体 【問題】 つまづいて倒れる直方体 まず，荷物が倒れるときの回転軸まわりの慣性モーメント を求める。 垂直軸の定理により，重心まわりの慣性モーメントは， 平行軸の定理により，求める慣性モーメントは， 衝突の瞬間に受ける撃力は，重力より十分大きいと考えてよく，その作用点はたおれるときの回転軸になるから，回転軸ま...
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回転しているボールのはねかえり
回転しているボールのはねかえり Yahoo!知恵袋でみつけた，ちょっとおもしろい問題。回転しているボールが自由落下し，床に衝突して斜め方向にはねかえる運動を考える。 【問題】 半径，質量の均質な球が，床に平行な軸まわりに角速度で回転しながら，高さから初速度0で落下し，床で跳ね上がった． 跳ね上がった瞬間の鉛直方向の速度は，この球が床に達したときの速度と同じ大きさであった．球が床...
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中心力-krを受ける質点の運動
中心力-krを受ける質点の運動 距離に比例する復元力を中心力として受ける質点の軌道運動。 位置において，中心力を受ける質量の質点の運動を考察する。 とりあえず，を求める。 平面極座標により，とする。 運動方程式の方位角成分より （角運動量保存） すなわち， エネルギー保存により， とおくと， 上式に代入，整理すると...
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切れ目のあるリング電荷の回転
切れ目のあるリング電荷の回転 OKWaveのQ Aより。切れ目のあるリング形状の電荷をもった物体が電場から力を受ける場合の回転運動の問題。 【問題】 質量 の丈夫で細い絶縁性リングが均一に だけ帯電している。一部にリングの半径に比較すると十分小さい、長さ の間隙がある。リングを水平に配置し、中心を通過する鉛直軸まわりに自由に回転できるようになっているものとする。間隙方向に垂直に水...
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ペットボトルの起き上がり
ペットボトルの起き上がり かつて「伊東家の食卓」でも紹介された，はじいたペットボトルの起き上がり現象。 http //hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1 mode=res no=22891 mode2=preview_pc 質問・回答を転載させていただきました。 【質問】 みなさん、ヒットペットって...
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正方形枠の回転２
正方形枠の回転２ 鉛直面内に立てて，重力を考慮する。ひとまず，姿勢保持に必要なトルクの導出を考えてみたい。 重力を考慮した系のラグランジアンは， となる。ラグランジュ方程式をつくり，２階微分について解いて整理すると を得る。 まず手始めに，角 への姿勢保持において，左下の固定回転軸まわりに必要なトルクを求めてみる。 とおいて， ...
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かんちがいに学ぶ物理
かんちがいに学ぶ物理 「かんちがい」は，学びの宝庫だと思う。どんなに秀でた物理学者も，多くの「かんちがい」を乗り越えて高みに達したのではないだろうか？科学史自体，「かんちがい」とそれをいかに乗り越えたか…という物語にあふれている。頻繁に表明される「かんちがい」とその解決に関するネタを集めてみようと思う。 運動の法則は力の定義か？(2012.10.16) Yahoo!知恵袋より。運動の第...
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回転の記述と軸性ベクトル（１）
回転の記述と軸性ベクトル（１） OKWaveに，角速度ベクトルの方向が回転面に垂直であるのはなぜか？という物理数学上の基本問題が投げかけられた。ポイントを覚え書きとしてまとめておきたい。 質問の要点は，たとえば 平面内の回転運動を記述する上で，角速度ベクトルを と方向のベクトルとして表すのはなぜか，というものである。さらに質問者は，回転運動の速度が ...
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回転する一様帯電球がつくる磁場
回転する一様帯電球がつくる磁場 Yahoo!知恵袋より。一様に帯電した球が中心軸周りに等速回転するとき，その中心に生じる磁場を求める。 【問題】 一定の体積電荷密度を持つ半径の球がある。これが球の中心を通る軸のまわりに角速度で剛体球として回転するとき、球の中心における磁場を決定せよ。 【解答】 中心を原点，回転軸を軸とする球座標をとる。 円電流が...
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直線２連振子のエネルギー
直線２連振子のエネルギー Yahoo!知恵袋より。軽い棒で連結された２質点を振り子にしたとき，２質点間で力学的エネルギーのやりとりが起こること。 図のような軽い棒に２つの質点のついた振り子を水平位置から振らす，力学的エネルギー保存の問題。 質問者の疑問の主旨は， 「質点が棒から受ける張力は運動方向に垂直で仕事をしないのに，なぜ個別の質点で独立に力学的エネルギーが...
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運動座標系による運動方程式（２）
運動座標系による運動方程式（２） いよいよ本題。加速系への座標変換の副作用として表れる「慣性力」の数々。 (2) 運動方程式の変換 質点の位置ベクトルをS系で，S 系で と書く。ある瞬間に，S 系の原点がS系から見てにあり，さらにS 系がS系に対して角速度で回転しているとすると， となる。さらに微分すると，質点の加速度として ...
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パテがくっついた棒の運動(2)
パテがくっついた棒の運動(2) パテがくっついた棒の運動 の軸なし水平運動版。「ファインマン物理学」演習問題より。 【問題】 質量 ，長さ の細い一様な棒が，なめらかな水平面に静止している。質量が同じく の小さなパテのかたまりが，速さ で棒に直角に飛んできて棒の一端にくっつく。衝突後の重心の速さと棒の角速度を求めよ。 ※ Algodoo の設定は， である。この...
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本家HP @Hatena版 --- あなたは - 人目のお客様です。 --- かんちがいに学ぶ物理 Algodooで物理問題に挑戦！ 相対論入門セミナー 天体写真 雪華 野鳥 パンスターズ彗星 Canon EOS Kiss X3 + 130mm反射 F5.5 ISO 3200 8×30sec. 実効 180sec. 2012年までのコメント ご意見・ご質問...
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【解答】円板の瞬間回転中心
【解答】円板の瞬間回転中心 【問題】はこちら → 円板の瞬間回転中心 円板の直径まわりの慣性モーメントは， 与えられた撃力の力積を とする。 撃力の結果得られる重心の速さを とすると， また，重心を通る水平直径軸まわりに得られる角速度を とすると， すなわち，円板の動かない場所は重心（中心）から だけ上の...
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ローレンツ短縮と電磁場の変換
ローレンツ短縮と電磁場の変換 相対論と電磁場の変換において，電磁場の変換をその源＝電荷とその移動にさかのぼって考察したが，定性的に簡明な「電子系」による思考実験を試みた。 導線内を自由電子が平均速さで運動していることにより，電流が流れている。この導線から距離離れたところで，電子が速さで自由電子と同じ方向に運動しているとする。その速度をとする。 実験室系では，電子は電流か...
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抵抗を受けるロケットの運動方程式
抵抗を受けるロケットの運動方程式 速度に比例する抵抗を受けるロケットの運動を調べる。Yahoo!知恵袋より。 なかなかおもしろい試み。質問者が提起した運動方程式は， ただし，はロケットの初期質量，は単位時間当たりの噴出質量，は一定の推進力，は速さに比例する抵抗力である。ロケットのような高速では，空気抵抗は速さの２乗（超）に比例するとされるが，まあ野暮なことはいうまい。初...
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【解答】２球を入れた円筒の安定
【解答】２球を入れた円筒の安定 【問題】 ２球を入れた円筒の安定 ２球の中心を結ぶ直線が水平面となす角を とすると， したがって，°である。円筒の側面が２球から受ける垂直抗力は，２球が受ける力のつりあいを考察すると，いずれも等しく である。求める円筒の最小質量を とする。円筒が倒れる限界において回転軸となる右下端まわりの力のモーメントのつ...
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スィートスポット（撃心）の位置
スィートスポット（撃心）の位置 Yahoo!知恵袋からひろったテーマだが，質問取り消しによって回答の機会は逃した。バットやラケットにおけるスィートスポットと慣性モーメントの問題。 【問題】 バット（またはラケットなどボールを打つ用具）に垂直にボールを当てたときのグリップにおける衝撃が最小になるとき，ボールによる撃力を加えた点を「スィートスポット（撃心，打撃の中心）」という。バット...
