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科学のおもちゃ箱 @wiki内検索 / 「途中にばねのついた振子」で検索した結果

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  • 途中にばねのついた振子
    途中にばねのついた振子 OKWaveより。途中にばねがついた軽い棒の先におもりがついている振子。 【問題】（大学レベル） 長さ の軽い棒が上端を軸に自由に回転できるようになっている。軸からの長さ のところにばね定数 のばねがついており，下端には大きさの無視できる質量 のおもりがついている。鉛直に下げた位置で，ばねは自然長となっており，振子はつりあって静止する。この振子の微小振動の周期を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを とする。 ※　Algodoo の設定は， である。 【解答】途中にばねのついた振子 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=262 file=OKW5528238.phz
  • 【解答】途中にばねのついた振子
    【解答】途中にばねのついた振子 鉛直方向からの微小角変位を とする。このとき， 重力によるトルクの大きさは，　 ばねによるトルクの大きさは，　 と近似できる。したがって，系の運動方程式は すなわち， したがって，微小振動の周期は となる。
  • ばねで連結された振子群の振動
    ばねで連結された振子群の振動 バークレー物理学コース「波動」より。ばねで連結された振子群に生じる定常波と，分散関係。 【問題】 質量の質点が，長さの軽い糸でつりさげられ，その組が互いにばね定数の軽いばねで連結されている。振子の支点間距離およびばねの自然長はとする。全体の長さは，である。重力加速度の大きさをとする。また，以下において振動による質点の平衡位置からの変位はより十分小さく，ばねの伸縮は自然長より十分小さいものとせよ。 (1) 左から番目（）の質点の変位をとして，運動方程式をたてよ。 (2) とおいて，運動方程式に代入することによって，規準振動における振幅と角振動数の関係を導出せよ。 (3) 定常波において，　と仮定して，(2)の関係式から振幅を消去し，の波長への依存性　すなわち分散関係を求めよ。 ※　Algodooの設定は， 　　...
  • Algodoo物理分野別リスト
    ...9.12.06)※ 途中にばねのついた振子(2009.12.18)※ ２次元ばね振子(2010.01.06) 実体振子(2010.01.03) ばね振子への衝突合体(2010.01.02)※ 支点の上下する振子(2010.01.01) 二重振子の運動方程式(2009.12.27)※ ばねにつりさげられたひも(2009.12.24) ばねにつりさげられた板上の物体(2009.12.22)※ ２直線に束縛された振子(2009.12.21)※ 単振子と壁の間を往復する小球(2009.12.05)※ 斜面上のばねと小球(2009.12.02)※ 斜面をすべる実験室内の振子(2009.11.30)※ 振子にとびのる小球(2009.11.30)※ ばねと壁の間を往復する小球(2009.11.29)※ 棒と円板の連成振子(2009.11.14)※ 『Phun』で半円筒振子(2009.03.17)※...
  • 『Phun』による力学シミュレーション
    ...09.12.18) 途中にばねのついた振子(2009.12.18) 階段をはずんでおりる小球(2009.12.17) 三角枠上でつりあう連結おもり(2009.12.17) 荷台からの丸太の落下(2009.12.16) 小球を投げ出して走る台車(2009.12.15) 棒にかけたひもの落下(2009.12.11) すべり台と壁を往復する小球(2009.12.10) 円弧状の面をもつ台と小球(2009.12.08) 降り注ぐ粒子群の中の物体(2009.12.07) ばね振子への弾丸打ち込み(2009.12.06) すべるブロックに連結した振子(2009.12.06) 単振子と壁の間を往復する小球(2009.12.05) 虹の広がり角(2009.12.03) 斜面上で衝突をくりかえす２物体(2009.12.03) ばねで連結された２物体(2009.12.03) アトウッドの器械(2009....
  • Algodooで物理問題に挑戦！
    ...09.12.18) 途中にばねのついた振子(2009.12.18) 階段をはずんでおりる小球(2009.12.17) 三角枠上でつりあう連結おもり(2009.12.17) 荷台からの丸太の落下(2009.12.16) 小球を投げ出して走る台車(2009.12.15) 棒にかけたひもの落下(2009.12.11) すべり台と壁を往復する小球(2009.12.10) 円弧状の面をもつ台と小球(2009.12.08) 降り注ぐ粒子群の中の物体(2009.12.07) ばね振子への弾丸打ち込み(2009.12.06) すべるブロックに連結した振子(2009.12.06) 単振子と壁の間を往復する小球(2009.12.05) 虹の広がり角(2009.12.03) 斜面上で衝突をくりかえす２物体(2009.12.03) ばねで連結された２物体(2009.12.03) アトウッドの器械(2009....
  • 衝突する振子のついた台車
    衝突する振子のついた台車 京都府医大 08を参考にしたオリジナル問題。 【問題】 水平面を摩擦なく動くことのできる質量 の台車上に，質量 のおもりを軽い棒につけた振子が設置してある。おもりを高さ に上げ，全体を静止した状態からおもりを放すと，おもりは最下点で台車に固定されたストッパーに，はねかえり係数 で衝突する。重力加速度の大きさを とし，おもりと台車以外の質量は無視できるものとする。また，おもりとストッパーの衝突以外で力学的エネルギーが失われることはないものとする。 [A] 台車が自由に動ける場合 (1) 衝突直前，直後のおもり，および台車の速度を水平右方向を正として求めよ。 (2) 衝突後のおもりの最高点の高さを求めよ。 [B] 台車が初め左に動けないようにした場合 (3) 衝突直前，直後のおもり，および台車の速...
  • ばね振子に励振される振子
    ばね振子に励振される振子 ばねによって振動するおもりに連結された振子の励振とモード間のうなり。 【問題】 ばね定数のばねの一端に質量のおもりがついて，水平に摩擦なく振動できるようになっている。おもりには長さの軽い棒が回転できるように連結され，棒の下端に質量の小球がついている。ばねが自然長にあるときのおもりの位置を原点とし，図のように座標軸をとるとき，おもりの位置を，小球の位置をで表す。重力加速度の大きさをとして，下の各問に答えよ。 (1)　おもりの位置と，棒の鉛直下方からの角度を座標として，運動方程式をたてよ。ただし，棒の角変位および角速度は，十分小さいとして，線形な微分方程式になるよう近似すること。 (2)　の極限において，二つの規準振動（モード）の角振動数を求めよ。 (3)　の下で，初期条件によって起こる，における二つのモード間のうなりの周期を求めよ。...
  • Index（内容別）
    ...09.12.18) 途中にばねのついた振子(2009.12.18) 階段をはずんでおりる小球(2009.12.17) 三角枠上でつりあう連結おもり(2009.12.17) 荷台からの丸太の落下(2009.12.16) 小球を投げ出して走る台車(2009.12.15) 棒にかけたひもの落下(2009.12.11) 斜方投射の到達領域(2009.12.10) すべり台と壁を往復する小球(2009.12.10) 円弧状の面をもつ台と小球(2009.12.08) 降り注ぐ粒子群の中の物体(2009.12.07) ばね振子への弾丸打ち込み(2009.12.06) 相対運動方程式の３つの解釈(2009.12.06) すべるブロックに連結した振子(2009.12.06) 単振子と壁の間を往復する小球(2009.12.05) 斜面上で衝突をくりかえす２物体(2009.12.03) ばねで連結された２...
  • 【解答】ばねで連結された振子群の振動
    【解答】ばねで連結された振子群の振動 【問題】　　ばねで連結された振子群の振動 (1) ばねで連結された質点群の横振動と同様にして，さらに重力の効果を考慮すれば，運動方程式 を得る。 (2) 運動方程式において，　etc.とおくと， を得る。 (3) を用いると となるから，これを(2)の結果に適用して， 任意のについて成立するためには， となる。すなわち，分散関係として を得る。下図は，Polymathによるのグラフである。 なお，この系にはすなわち，のモードが存在する。 基本振動においては だから，振動周期は となる（Algodooの設定で2.2sec.）。
  • ２直線に束縛された振子
    ２直線に束縛された振子 Algodooのサンプルより。ラグランジアンを用いた方法がいかに有効かを思い知る。 【問題】（大学レベル） 図のように質量 のおもりがC端についた棒ACが，点AおよびBにおいてスライダーで 軸および 軸になめらかな束縛を受けて運動する。ここで である。重力加速度の大きさを とし，スライダーと棒の質量は無視できるものとする。 (1) 重力の影響がない場合の運動を解析せよ。 (2) 重力が 方向に存在するときの運動を解析せよ。 ※ Algodoo の設定は， である。また，重力がある場合の初期条件は， である。 【解答】２直線に束縛された振子 Algodoo のシーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=268 fil...
  • 斜面上のばねと小球
    斜面上のばねと小球 東北大学 09入試問題より。斜面上に固定されたばね振子と小球の運動。 【問題】 傾角 の斜面上にばね定数 の軽いばねが固定され，上端に質量 の小球Aがつながれている。小球Aに接して同じ質量の小球Bを乗せるとばねは自然長から だけ縮んでつりあった。さらにばねを だけ縮めて放した後のA，Bの運動を考える。重力加速度の大きさを とし，摩擦や抵抗は無視できるものとする。 が十分大きいとき，ばねの自然長においてA，Bは離れて，やがてまた出会うことになる。 (1) ばねの自然長におけるAおよびBの速さ を を用いて表せ。 (2) 下図は，A，Bが離れたのと同じ位置（ばねの自然長）で再び衝突する場合のAの水平方向の位置変化を示している。このような運動が実現するための最初の縮み を， を用いて表せ。 Algodoo...
  • Index（日付順）
    ...09.12.18) 途中にばねのついた振子(2009.12.18) 階段をはずんでおりる小球(2009.12.17) 三角枠上でつりあう連結おもり(2009.12.17) 荷台からの丸太の落下(2009.12.16) 小球を投げ出して走る台車(2009.12.15) 棒にかけたひもの落下(2009.12.11) 斜方投射の到達領域(2009.12.10) すべり台と壁を往復する小球(2009.12.10) 「計算バカ」への戒め(2009.12.09) 円弧状の面をもつ台と小球(2009.12.08) 降り注ぐ粒子群の中の物体(2009.12.07) ばね振子への弾丸打ち込み(2009.12.06) 相対運動方程式の３つの解釈(2009.12.06) すべるブロックに連結した振子(2009.12.06) 単振子と壁の間を往復する小球(2009.12.05) 虹の広がり角(2009.12...
  • 2009年のページ
    ...理学」より。 途中にばねのついた振子(2009.12.18) OKWaveより。途中にばねがついた軽い棒の先におもりがついている振子。 階段をはずんでおりる小球(2009.12.17) 青学 07入試問題より。出典は数値計算だが，一般化した。 三角枠上でつりあう連結おもり(2009.12.17) 「ファインマン物理学」演習より。 荷台からの丸太の落下(2009.12.16) 「ファインマン物理学」の演習より。テキストに解答もなかったが，シミュレーションによって正解を確認できた。 小球を投げ出して走る台車(2009.12.15) オリジナル問題。通常は相対速度を一定とする設定が普通だが，そうでない場合の発展的な問題。小球を落下によって水平に投げ出して加速する台車。 棒にかけたひもの落下(2009.12.11) なめらかな棒にかけられたひも...
  • ばね振子への弾丸打ち込み
    ばね振子への弾丸打ち込み 立教大 09入試問題より。固定ばねについた物体への弾丸の打ち込み問題。 【問題】 質量 の物体がなめらかな水平面上におかれ，質量が無視できるばね定数 のばねで壁につながれている。物体はばねの自然長で静止している。そこへ質量 の弾丸が速度 でばねの中心軸にそって水平に飛んできて瞬時に一体となって振動を始めた。 (1) 弾丸衝突直後の物体の速さと，衝突によって失われた力学的エネルギーを求めよ。 (2) ばねの縮みの最大値と振動の周期を求めよ。 ※ Algodooの設定は， である。 【解答】ばね振子への弾丸打ち込み Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=240 file=Rikkyo09.phz
  • 支点の上下する振子
    支点の上下する振子 「一般力学30講」（戸田）より。パラメタ励振の好例。 【問題】大学レベル 長さ の軽い棒の先に，質量 のおもりがついた振子があり，その支点が強制的に上下に動かされるようになっている。支点の運動が単振動 であるものとして振子の微小振動を解析し，支点の角振動数 および初期位相 をどのようにとれば振子が励振されるか考察せよ。重力加速度の大きさを とする。 ※ Algodoo の設定は， である。クランクによる支点の運動は厳密には単振動ではない。 【解答】支点の上下する振子 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=294 file=Parameter.phz
  • すべるブロックに連結した振子
    すべるブロックに連結した振子 宮崎大 09入試問題の発展。 【問題】 図のように，水平なレール上を摩擦なくすべる質量 のブロックに，長さ の 軽い糸をつけ，その先に質量 の小球をつないである。はじめブロックを固定して糸が鉛直方向から角度 をなすように小球を持ち上げた。小球を放すと同時に，ブロックの固定をはずすと，小球とブロックはともに運動を開始した。 (1) 小球が最下点にきたときの小球およびブロックの速度を求めよ。ただし，右向きを正とする。 (2) が十分小さいとき，振子の周期を求めよ。ただし，次の関係を用いてよい。 　　　　 【解答】すべるブロックに連結した振子 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=237 file...
  • ひものついた風船の運動
    ひものついた風船の運動 OKWaveより。質量が無視できないひものついたヘリウム風船の振動。私のオリジナルの問題ばねにつりさげられたひもに類似だが，ばねがなくとも振動する。 【問題】 十分に長くその一部が地面にあるひものついたヘリウム風船がある。風船はこの状態でつりあって静止している。風船の体積を，風船本体の質量を，ひもの線密度を，空気とヘリウムの密度を，，重力加速度の大きさをとする。風船が運動するとき，その速さに比例する空気抵抗を受けるものとし，その比例定数をとする。 (1) つり合い位置の高さ（＝ひもの長さ）を求めよ。 (2) つり合い位置から上下にずらして放すと，風船は振動を始める。風船が浮いている高さ（＝ひもの長さ）をとして，に関する運動方程式を導け。 【解答】ひものついた風船の運動 Algodooシーンのダウンロード
  • 【解答】衝突する振子のついた台車
    【解答】衝突する振子のついた台車 [A] (1) 衝突直前のおもりおよび台車の速度を ，衝突直後のそれを とおくと，運動量保存により 衝突前のエネルギー保存により， はねかえり係数 により， 以上より， を得る。なお，衝突後の速度がそれぞれ衝突前の速度に を乗じたものになることは，衝突の瞬間に相対速度ゼロになったとき，どちらも絶対速度ゼロになるべきことから明らかである。 (2) 最高点になるとき，どちらも速度ゼロになるから，衝突後のエネルギー保存により 結果は，水平面への自由落下でよく知られた関係に等しい。 [B] (3) 衝突前は， また，運動量保存により はねか...
  • 質量を無視できないばねの伸び
    質量を無視できないばねの伸び OKWaveのQ Aから。質量が無視できないばねを鉛直につるした場合の伸びについて。 無視できない質量を持つ，ばね定数のつるまきばねを鉛直につるしたときの，自重による伸びを求める。 自然長の状態で下からの位置の微小長さの部分の伸びを考える。その下にあるばねの質量がに比例するため，はに比例する。したがって，全体の伸びはになる。 上記はほぼ自明であるが，計算で確認すると， 長さのばねのばね定数は，であるから， 求める伸びは， となる。 Algodooで，短いばねと質点を交互につないだものをモデルとして作ってみた。設定は， である。 Algodooシーンのダウンロード
  • 【解答】２直線に束縛された振子
    【解答】２直線に束縛された振子 (1) 重力の影響がない場合 図のような状態で，鉛直方向からの棒の角度を とおくと，おもりの位置は 速度成分は， したがって，ラグランジアンは となる。 より運動方程式をつくり，整理すると を得る。 (2) 重力がある場合 ラグランジアン により，運動方程式は となる。 回転軸連結された２本の棒に引き続き，束縛された系の運動の解析にラグランジアンを用いた方法がいかに強力なものか，再び思い知らされることになった。座標への束縛を与えるだけで，結果的に束縛力を逆に得ることになるわけである。
  • ばね連結台車のキャッチボール
    ばね連結台車のキャッチボール 東工大 03入試問題をヒントにしたオリジナル問題。ばねで連結された２つの台車の間で小球が放物運動する。 【問題】 なめらかな水平面上に，質量 の２つの台車A，Bが自然長 ，ばね定数 の軽いばねでつながれて静止している。今，台車Aにある発射装置から質量 の小球が外から見て仰角 ，初速 で台車Bの方へと打ち上げられた。重力加速度の大きさを とし，台車および小球の大きさ，摩擦や抵抗は無視できるものとする。 (1) 小球が打ち出された後の，台車Aの速さを求めよ。ただし，小球の発射にかかる時間は無視でき，発射によって台車が水平面から離れることはないものとする。 (2) 小球が打ち出された後の，台車AおよびBの初めの位置からの変位を ，加速度を として，それぞれの運動方程式を立てよ。ただし，左向きを正にとること。小球が後の...
  • 直線２連振子のエネルギー
    直線２連振子のエネルギー Yahoo!知恵袋より。軽い棒で連結された２質点を振り子にしたとき，２質点間で力学的エネルギーのやりとりが起こること。 図のような軽い棒に２つの質点のついた振り子を水平位置から振らす，力学的エネルギー保存の問題。 質問者の疑問の主旨は， 「質点が棒から受ける張力は運動方向に垂直で仕事をしないのに，なぜ個別の質点で独立に力学的エネルギーが保存されないのか」 というものである。なかなかよい観点だ。 明らかに２質点間で力学的エネルギーのやりとりが行われているはずだ。つまり，質点が棒から受ける力には運動方向の成分が存在するのである。この点が糸に下げた振り子とは異なる。棒に垂直な分力が質点に仕事をすることで，２質点間にエネルギーの移動が起こっている。 下図はAlgodooによるシミュレーションで，振り子が下へ向かう...
  • 【解答】すべるブロックに連結した振子
    【解答】すべるブロックに連結した振子 (1) 小球の最下点における，小球およびブロックの速度を とおくと，運動量の水平成分は保存されるから， またエネルギー保存により， (2) ※実際には の方向は逆向きである。 ある時刻における糸の角度を ，小球およびブロックの水平位置座標を ，水平速度成分をとおくと，水平方向の運動量保存により このとき系のエネルギーは， と書ける。上の結果および微小角の近似を用いて， また， によって， 一般に，単振動をする系のエネルギーは と書け，このとき周期は となる。比較により であるから求める周期は， となる...
  • 弾性棒とばねで連結された３連振子
    弾性棒とばねで連結された３連振子 OKWaveのQ Aより。弾性棒とばねで連結された３個の質点のモード（規準振動）を求める。 【問題】 平行に等しい間隔 になるように一端を固定された３本の弾性棒の先端に，質量 の質点をつけ，ばね定数 ，自然長 のばねで連結する。弾性棒とばねの質量は無視でき，弾性棒の先端は左右のみに変位し，変位に対して比例定数 の復元力を持つとする。この系のラグランジアンから運動方程式を求め，規準振動を考察せよ。 【解答】弾性棒とばねで連結された３連振子 Algodooシーンのダウンロード
  • 回転の慣性
    回転の慣性 ばね振子に励振される振子(2)から思いついた問題。回転の慣性が振動周期に影響を与えるひとつの例。 【問題】 質量の台がばね定数のばねに連結され，なめらかな水平面上を振動する。半径，質量の円筒が台の上面をすべらずに転がるとする。初め，ばねの自然長からの台の変位において，円筒が台上で静止している状態から放した場合の両者の運動を考える。 (1)　ばねの自然長からの台の変位，円筒の回転角を座標として運動方程式を立てよ。 (2)　振動の周期を求めよ。 (3)　の振幅を求めよ。 ※　Algodooの設定は， である。 【解答】回転の慣性 Algodooシーンのダウンロード
  • どっちがはやい？―棒振子と自由落下
    どっちがはやい？―棒振子と自由落下 棒振子の先端の落下と，自由落下の比較。 時間を座標の関数として求めるというのは，グラフ化するとき汎用性に欠けるものの，最も計算がラク。 長さ，質量の剛体棒が，その一端を軸とした振子になっているとき，初速ゼロで水平位置から角まで振れる時間を求める。 エネルギー保存により， について解けば， すなわち， Mathcadによる計算結果を示す。 棒の長さの半分落下する時間は，0.38秒。自由落下の0.45秒に比べてかなり速い。 0.38秒ぴったり。中央におもりがついた棒振り子は，すでにはねかえっている。 先におもりをつけた方がより遅くなるというのがやや意外だが，回転の慣性の特徴を示している。
  • 2010年のページ
    2010年のページ 月の公転周期(2010.12.13) 月の公転周期を計算してみる。精度よく計算するためには，２体問題としての考察が必要である。 動摩擦力を受ける水平ばね振子(2010.12.11) 一定の動摩擦力によって，振動中心を半周期ごとに変えて減衰振動するばね振子。OKWaveから。 球面に拘束された質点の運動(2010.12.07) 一様な重力下で固定された球面に拘束された質点（球面振子）の運動の解析。Yahoo!知恵袋から拾ったネタ。 ０の０乗は？(2010.11.30) たまたま同僚と話題になったこと。０の０乗は何だろうかという話。 回転系から見た等速直線運動(2010.11.24) 回転円板の上で見た等速直線運動を解析する。Yahoo!知恵袋より。 反対称テンソルの成分展開(2010.11.18) 反対称テンソルをLevi-Ci...
  • 7.ばね
    7.ばね 　Phunの重要なアイテムのひとつであるばね。Phunのばねは，特有の性質を持っているので使用するとき注意が必要である。ばねの強さを指定するStrength［強さ］というパラメータが設定できるのだが，このパラメータの挙動が摩訶不思議。ばねにつけたおもりの質量を変えても，鉛直ばね振子の周期が変わらないのである。したがってStrength［強さ］はいわゆるばね定数とは異なる。パラメータをいろいろに変えて周期を測定したところ，次の関係があるらしいことがわかった。 ただし，はStrength［強さ］のパラメータ値である。したがって，ばね定数との関係は となるらしい。 ところが，さらに不思議なことに両端におもりをつけて水平振動させても周期が変わらず，これがまた両端につけたおもりの質量にも無関係であることがわかった。 すると，両端に運動可能な質量がある場合は...
  • 振子にとびのる小球
    振子にとびのる小球 計算練習みたいなものだが，思い通りの結果が出る楽しさを味わってほしい。 【問題】 床から の高さにある点Oを支点とした振子がある。振子は長さ の軽い棒の先に小球が乗れるトレーBがおもりとしてついている。この振子を小さな角度に持ち上げ，放すと同時に小球Aを点Oから自由落下させる。小球Aが床ではね返った後，トレーBにちょうど乗るように，小球Aと床の間のはねかえり係数を調整してほしい。ただし，小球Aと糸とは衝突をしないものとする。 【解答】振子にとびのる小球 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=221 file=hanekaeri.phz ※はねかえり係数 は，床と小球Aの「はんぱつの度合」パラメータの相乗平均となる。...
  • ウェイトのついたターンテーブル
    ウェイトのついたターンテーブル 「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。 【問題】（大学レベル） 半径 ，質量 の一様な円板でできたターンテーブルが，鉛直軸のまわりに自由に回っている。質量 のウェイトが載っていて，軸からひもで引かれており，ターンテーブルの直径にそって摩擦なしで動くことができる。初め，全体の回転の角速度は で，ウェイトは軸から の距離に静止していた。 (1) ウェイトをひもで引いて軸からの距離 で止めたとき，ターンテーブルの角速度はいくらになるか。 (2) ターンテーブルのエネルギー増加が，ひもから引かれた仕事に等しいことを証明せよ。 (3) 続いてひもが放されて，自由になったウェイトが軸からの距離 の位置を通り過ぎるときの半径方向の速さはいくらか。 ※　Algodoo の設定は， である。ウェイトはUPキーで軸方...
  • 【解答】ひものついた風船の運動
    【解答】ひものついた風船の運動 【問題】はこちら　→　ひものついた風船の運動 (1) つりあいにより， が(2)の運動方程式で示される振動の中心になる。 (2) 風船の位置がで，速度が上向きのとき，微小時間の間の風船＋ひもの系の運動量変化は， 上昇中は地面からの抗力はないので，運動方程式は すなわち， となる。 第２項 は上昇中のとき地面から新たに運動に参入するひもの部分の運動量変化率を表している。したがって，下降中は地面に達して運動から離脱していくひもの部分の下向き運動量の減少率を表すことになる。この運動量減少は結局地面から受ける抗力がまるごと引き受けることになる。すなわち である。したがって，両者をキャンセルすると下降中の運動方程式は ...
  • ２次元ばね振子
    ２次元ばね振子 阪大 06（後期）入試問題より。左右両側から２本のばねに引かれた質点の２次元の振動。 【問題】 なめらかな水平面に質量 の小球を置き，自然長 ，ばね定数 の２本の軽いばね，ばね１およびばね２につないでその両端を座標 に固定した。ただし， とする。以下では， がともに に比べて十分小さい場合で， について一次の項までをとる近似を考える。たとえば小球が にあるとき，ばね１，２の長さ に対して次の近似が成り立つことを用いてよい。 (1) 小球が にあるとき，ばね１とばね２から受ける合力の， 成分と 成分をそれぞれ求めよ。 (2) 時刻 に，点 から静かに小球を放す。運動方程式によれば，この後の小球の 方向， 方向の運動は，それぞれ振幅 の独立な単振動であることがわかる。時刻 における位置座標 ...
  • ばねを介した衝突
    ばねを介した衝突 質量の質点Aが速度で進行し，静止している等質量の質点Bに正面衝突する。Bにはばね定数の軽いばねがついていて，ばねの弾性力を介して2質点は力を及ぼしあってやがて離れていく。衝突時間（ばねを介して力を及ぼしあう時間）を求む。 http //okwave.jp/qa4716641.html (1) 重心系 重心系から見ると，AとBは互いに速さで重心に近づき，衝突時は重心に固定された長さ半分のばねで単振動の半周期を経て，互いに速さで重心から離れていく。 長さ半分のばねのばね定数はだから，衝突時間は となる。 (2) 小球とともに動く座標系 Aとともに動く座標系は，衝突時ばねの縮みがのとき静止系に対して加速度をもつ加速系である。したがって，このときBが受ける慣性力はであるから，Bは合力を復元力とする単振動をすることになる...
  • 『Phun』を力学シミュレータに(3)
    『Phun』を力学シミュレータに(3) ストップウォッチを作ってみた。リターンキーでストップする。大きいほうが１秒計，小さいほうが１２秒計である。単振子の周期測定をしてみた。まずまずかな？「ころりん」もリングと円板でやってみた。 ストップウォッチで単振子の周期を計測…スケール代わりに振子にばねがついている。 測定結果は大体理論どおり，いい線いってる。 円板の理論値は1.92sec.　リングはphunlet に登録していたものを読み込んだ。 『Phun』ストップウォッチで単振子の周期測定 http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=74 file=Pend2.phn 『Phun』でころりん　with ストップウォッチ http //www14.atwiki.jp/y...
  • 『Phun』を力学シミュレータに(2)
    『Phun』を力学シミュレータに(2) ばねによるスケールをテストしてみた。『Phun』で半円筒振子のシミュレーションシーンを計測したところ，理論値とよい一致をみた。 円筒に渡したばねの自然長（Target_length）により直径2.78mだから，半径1.39m。ちなみにInformation-Areaで得られる面積からの逆算では半径1.41mである。初期角度は40°ぐらいか？ 以上をMathcadによる数値積分に代入したところ， 転がり振子の周期　3.2sec. すべり振子の周期　2.2sec. いずれも，シミュレーションシーンの実測に一致した。 ばねの自然長をスケールとして十分使えることがわかった。
  • 【解答】ばね振子に励振される振子
    【解答】ばね振子に励振される振子 【問題】　　ばね振子に励振される振子 (1) 小球の位置と速度は， したがって，ラグランジアンは 　　 微分して運動方程式をたてると， の場合について近似すると， を得る。 (2) (1)で得られた運動方程式において， とおくと， これらが，に対して矛盾のない関係を与えるためには， が成立する必要がある。ここで，すなわち，の極限をとれば，規準振動（モード）の角振動数として を得る。 (3) および， は，初期条件　　を満足する。 このとき， 　　　 となるから，求めるうなりの周期は ...
  • 自然長でばねから離れる物体
    自然長でばねから離れる物体 鉛直ばねについたトレーに載せた物体は，必ずばねの自然長位置でトレーを離れる。 下端が床に固定され，上端に質量の板がつけられたばねが鉛直に立っている。板の上に質量の物体を載せた状態でばねを押し縮めて放したとき，物体は必ずばねの自然長位置で板を離れることになる。 自然長位置を原点に上向きに軸をとる。物体および板が離れていないときの加速度を，物体と板が押し合う抗力を，ばね定数をとおくと，物体と板の運動方程式は， 2式より， したがって，自然長位置において抗力はゼロとなり，物体は板から離れることになる。 この事実を偶然だと思ってはいけない。鉛直ばねによって振動する物体の加速度は，自然長位置においてとなる。自然長位置では弾性力がゼロとなるから，物体（＋板）が受ける力は重力のみになるからである...
  • ばね振子に励振される振子(2)
    ばね振子に励振される振子(2) ばねにつながれて振動する台の円筒内面上ですべる小球の運動。数学的には，ばね振子に励振される振子とまったく同じ。 質量の台がばね定数のばねにつながれて，なめらかな水平面上を振動する。台の上面は半径のなめらかな円筒内面になっており，質量の小球が自由にすべることができる。 棒（または糸）がない分，よりシンプルになっているが，力を書き出すかあるいはラグランジアンを書き下ろしてみるとすぐにわかるように，数学的にはばね振子に励振される振子とまったく同じ系であることがわかる。小球が棒（糸）から受ける張力が，ここでは面から受ける抗力になっている，その違いだけである。 Algodooシーンのダウンロード
  • 【解答】ウェイトのついたターンテーブル
    【解答】ウェイトのついたターンテーブル (1) ターンテーブル本体の慣性モーメントは， である。求める角速度を とすると，角運動量保存により (2) エネルギーの増加は， また，遠心力に抗してウェイトを引く仕事を計算すると， となる。 (3) ウェイトが軸から の距離に動いたとき，角速度は にもどるから，求める速さを とするとエネルギー保存により，
  • ばね振子への衝突合体
    ばね振子への衝突合体 「ファインマン物理学」演習より。鉛直ばね振子がおもりと等質量の小球の衝突合体を受けて振動を始める。 【問題】 自然長が のばねを鉛直に下げて，質量 のおもりをつるすと，長さが だけ伸びてつりあって静止した。おもりと等質量の小球を高さ から落下させると非弾性的に衝突して合体した後，振動を始めた。この振動の周期，振幅，最高点のはじめの位置からの高さを求めよ。ただし，重力加速度の大きさを とする。 ※　Algodoo の設定は， である。 【解答】ばね振子への衝突合体 Algodoo シーン http //www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload act=open pageid=298 file=FM21-3.phz
  • 『Phun』を力学シミュレータに(1)
    『Phun』を力学シミュレータに(1) 『Phun』はもちろん生まれながらの物理シミュレータ。ピタゴラ装置ふうのゲーム的活用も楽しいが，条件設定の機能をフルに活用すれば，本格的な力学シミュレータとして十分使えそうである。『Phun』に秘められた可能性を引き出しつつ，力学シミュレータとして仕立て上げることを考えた。 まず，力学シミュレータとして『Phun』にほしいと思うのが，スケール。そこで，物体の大きさを知る唯一の情報として，右クリックメニューのInformationから得られるArea＝面積を使うことができないか考えた。円板の面積から半径を逆算すれば画面上でのスケールを得ることができると思ったのである。この方法で1mのスケールを作ってみたが，自由落下時間を測定しても振子の周期を測っても，どうも長すぎるようだ。 それならばと，カットアンドトライで周期が2秒になる単振子を作...
  • ばねにつりさげられた板上の物体
    ばねにつりさげられた板上の物体 北大 06入試問題より（発展改題）。 【問題】 天井からつり下げたばね定数 の軽いばねの先に質量 の板が固定され，質量 の物体が載せられている。板と物体の大きさは無視できるものとし，ばねの自然長における両者の位置を原点に鉛直下向きに 軸をとる。また，重力加速度の大きさを とする。 (1) 板を下に引いて，ばねが自然長から のびた位置から放すとき，運動の途中で物体が板を離れるための の下限を求めよ。 (2) が(1)の下限をこえたとき，物体の最高点を求めよ。 (3)【発展】 のとき，板を放してから物体が最高点に達するまでの時間を求めよ。 ※　Algodoo の設定は， である。 【解答】ばねにつりさげられた板上の物体 Algodoo シーン http //www14....
  • 『Phun』を力学シミュレータに(7)
    『Phun』を力学シミュレータに(7) 不可思議な『Phun』のばねのふるまい。 いろいろシミュレーションをテストしてみて，ようやく謎が解けた？ 『Phun』の重要なアイテムのひとつであるばね。ばねの強さを指定するStrengthというパラメータが設定できるのだが，このパラメータの挙動が摩訶不思議。ばねにつけたおもりの質量を変えても，鉛直ばね振子の周期が変わらないのである。したがってStrengthはいわゆるばね定数とは異なる。パラメータをいろいろに変えて周期を測定したところ，次の関係があるらしいことがわかった。 ただし，はStrengthのパラメータ値である。したがって，ばね定数との関係は となるらしい。 ところが，さらに不思議なことに両端におもりをつけて水平振動させても周期が変わらず，これがまた両端につけたおもりの質量にも無関係であることがわか...
  • ばねで連結された２質点の縦振動
    ばねで連結された２質点の縦振動 オーソドックスな連成振動の問題。 【問題】 下図のように質量の質点２個が，ばね定数のばね３本に引かれている。この系の縦振動（ばねの方向の振動）について考察せよ。ばねの自然長は，平衡長はとし，重力など他の外力は無視できるものとする。 (1) 運動方程式を立てて，モード（規準振動）の角振動数を求めよ。 (2) 各モードにおける振幅の関係を求め，一般解を導出せよ。 ※　Algodooシーンの設定は， である。 【解答】ばねで連結された２質点の縦振動 Algodooシーンのダウンロード
  • 斜面をすべる台上のばね振子
    斜面をすべる台上のばね振子 埼玉大 03入試問題より。斜面をすべりおりる台の上で振動するばね振子の相対運動の問題。 【問題】 大きさが無視できる質量 の小球Aが，ばね定数 の軽いばねを通じて質量 の台Bの上につながれている。ばねが自然長のとき，小球Aは台Bの重心の真上にある。重力加速度の大きさを とし，摩擦や抵抗は無視できるものとして下の各問いに答えよ。 (1) 傾角 の斜面上に台Bを静止させ，小球をつりあいの位置に静止させた状態から時刻 に手を離した。AおよびBの運動方程式をたてよ。ただし，斜面にそって下向きに測ったAとBそれぞれの重心の座標を ，その加速度を とする。 (2) Bとともに動く観測者から見たAの斜面下向きの加速度 を， およびBの重心から測ったAの座標 を用いて表せ。 (3) 時刻 における， を を用い...
  • 行列の対角化（覚書）
    行列の対角化（覚書） 線形代数の基礎的な事項とはいえ，学生時代に勉強しなかったために，その意義が見出せぬまま「わけわからん！」状態で現在に至っていましたが，ようやくわかってきた気がします。要するに座標の2次形式の「積の項」を座標の回転でなくすことに相当するわけですね？　運動方程式の混在した座標の分離や計量テンソルの対角化にも応用できるというわけで。 物理のかぎしっぽ Wikipedia 対角化 次正方行列 に対して、 次対角行列 と正則な 次正方行列 が存在して とできるとき、行列 は対角化可能であるという。 座標 に対して，対称行列 をはさんだ2次形式 があるとき，座標の回転 を施して，対角行列 を用いて と書き換えることができる。このとき， の対角成分を と書くと， 　　　　　　　　 したがって，...
  • 【解答】２次元ばね振子
    【解答】２次元ばね振子 (1) ばね１，２の自然長からの伸びを とおくと， となる。したがって，ばね１，２から受ける力を とおくと， となるから，合力の成分 すなわち を得る。 (2) (1)の結果を用いると，加速度を として小球の運動方程式は となる。したがって，時刻 における位置は となる。 (3) (2) の結果に， を代入すると， を得る。 下は， が小さくない場合。近似からのずれが無視できなくなる。
  • 3.重力
    3.重力 　Phunは，重力として一様重力，また物体間の相互作用として距離に反比例する引力，距離の２乗に反比例する引力を提供する。ここでは，一様重力のみについて述べる。既定値で9.80m/で下向きの重力が設定されている。大きさと方向をOptions-Simulation［オプション-シミュレーション］メニューから変更可能である。 　簡単な重力下の運動として，まず斜方投射を例としてシミュレーションシーンを作成してみる。まず，初速度の与え方だが，簡便な方法としてPhun特有の「埋め込み発射」というのを使ってみよう。衝突する物体どうしを重ねて設置すると，Phunは異常状態を回避するためにちょうど弾性体に物体が埋め込まれていて，変形回復によってそれを放出するかのような力を物体に作用させるのである。数値設定は困難で試行錯誤によるしかないが，物体に初速を与える最も簡便なテクニックである。 ...
  • 【解答】ばね振子への衝突合体
    【解答】ばね振子への衝突合体 ばね定数 は，つりあいから である。衝突直前・直後のおもりの速さを とすると，運動量保存により となる。振動の周期は， 新しいつりあい位置は， 伸びた位置である。振幅を とすると単振動のエネルギー保存により， したがって，最高点のはじめの位置からの高さは， である。 もとの振子で，おもりを自然長まで上げて放したときの振動と比較してみた。
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