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具体例10

最終更新：2008年01月02日 22:26

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具体例10：既約多項式 $x^{4}-3$ の零点による拡大体

$\mathbb{Q}$ 上の既約方程式 $x^{4}=3$ の解は $x=\pm\sqrt[4]{3},\ \pm\sqrt[4]{3}i$ の4個である。
ここで， $\sqrt[4]{3}$ を $\alpha$ とおくと，4個の解は $\pm\alpha,\ \pm \alpha i$ である。

$\mathbb{Q}$ の8次ガロア拡大体
　 $\mathbb{Q}(\alpha,\ i)=\{\ a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3+ei+f\alpha i+g\alpha^2 i+h\alpha^3 i\ |\ a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g,\ h\in\mathbb{Q}\ }$
を考える。

$\mathbb{Q}(\alpha,\ i)$ の $\mathbb{Q}$ 上の自己同型写像 $\sigma$ ， $\tau$ をそれぞれ
　　 $\sigma(\alpha)=\alpha i,\ \sigma(i)=i$
　　 $\tau(\alpha)=\alpha,\ \tau(i)=-i$
で定義すると， $\mathbb{Q}(\alpha,\ i)$ の $\mathbb{Q}$ 上のガロア群 $G$ は
　　 $G=<\ \sigma,\ \tau\ > = \{\ e,\ \sigma,\ \sigma^2,\ \sigma^3,\ \tau,\ \sigma\tau,\ \sigma^2\tau,\ \sigma^3\tau\ \}$

	$e$	$\sigma$	$\sigma^2$	$\sigma^3$	$\tau$	$\sigma\tau$	$\sigma^2\tau$	$\sigma^3\tau$
1	1	1	1	1	1	1	1	1
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha i$	$-\alpha$	$-\alpha i$	$\alpha$	$\alpha i$	$-\alpha$	$-\alpha i$
$\alpha^2$	$\alpha^2$	$-\alpha^2$	$\alpha^2$	$-\alpha^2$	$\alpha^2$	$-\alpha^2$	$\alpha^2$	$-\alpha^2$
$\alpha^3$	$\alpha^3$	$-\alpha^3 i$	$-\alpha^3$	$\alpha^3 i$	$\alpha^3$	$-\alpha^3 i$	$-\alpha^3$	$\alpha^3 i$
$i$	$i$	$i$	$i$	$i$	$-i$	$-i$	$-i$	$-i$
$\alpha i$	$\alpha i$	$-\alpha$	$-\alpha i$	$\alpha$	$-\alpha i$	$\alpha$	$\alpha i$	$-\alpha$
$\alpha^2 i$	$\alpha^2 i$	$-\alpha^2 i$	$\alpha^2 i$	$-\alpha^2 i$	$-\alpha^2 i$	$\alpha^2 i$	$-\alpha^2 i$	$\alpha^2 i$
$\alpha^3 i$	$\alpha^3 i$	$\alpha^3$	$-\alpha^3 i$	$-\alpha^3$	$-\alpha^3 i$	$-\alpha^3$	$\alpha^3 i$	$\alpha^3$

このとき，「ガロア群 $G$ の部分群」と「体 $\mathbb{Q}(\alpha,\ i)$ の部分体」との関係は，以下の通り；

$\{\ e\ \}$	$\mathbb{Q}(\alpha,\ i)=\{\ a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3+ei+f\alpha i+g\alpha^2 i+h\alpha^3 i\ \}$
$\{\ e,\ \tau\ \}$	$\mathbb{Q}(\alpha)=\{\ a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^2\tau\ \}$	$\mathbb{Q}(\alpha i)=\{\ a+b\alpha i +c\alpha^2+d\alpha^3 i\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^2\ \}$	$\mathbb{Q}(\alpha^2,\ i)=\mathbb{Q}(\sqrt{3},\ i)=\{\ a+b\sqrt{3}+ci+d\sqrt{3} i\ \}$
$\{\ e,\ \sigma\tau\ \}$	$\mathbb{Q}(\alpha+\alpha i)=\{\ a+b(\alpha+\alpha i)+c\alpha^2 i+d(\alpha^3-\alpha^3 i)\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^3\tau\ \}$	$\mathbb{Q}(\alpha-\alpha i)=\{\ a+b(\alpha-\alpha i)+c\alpha^2 i+d(\alpha^3+\alpha^3 i)\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^2,\ \tau,\ \sigma^2\tau\ \}$	$\mathbb{Q}(\alpha^2)=\mathbb{Q}(\sqrt{3})=\{\ a+b\sqrt{3}\ \}$
$\{\ e,\ \sigma,\ \sigma^2,\ \sigma^3\ \}$	$\mathbb{Q}(i)=\{\ a+bi\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^2,\ \sigma\tau,\ \sigma^3\tau\ \}$	$\mathbb{Q}(\alpha^2 i)=\mathbb{Q}(\sqrt{3}i)=\{\ a+b\sqrt{3}i\ \}$
$G$	$\mathbb{Q}$