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具体例6

最終更新：2008年01月02日 22:26

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具体例6：既約多項式 $x^8-x^6+x^4-x^2+1$ の零点による拡大体（ $x^{20}=1$ による円分体）

$\mathbb{Q}$ 上の既約方程式 $x^8-x^6+x^4-x^2+1=0$ の解は，
　 $x=e^{\frac{n\pi}{10}i}=\cos\frac{n\pi}{10}+i\sin\frac{n\pi}{10}$ （ $n=\ 1,\ 3,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13\ 17,\ 19$ ）
の8個である。
（これらはすべて，方程式 $x^{20}=1$ の解である。）
ここで， ${e^{\frac{\pi}{10}i}=\cos\frac{\pi}{10}+i\sin\frac{\pi}{10}$ を ${\xi_{20}}$ とおくと，8個の解は $\pm{\xi_{20}},\ \pm{\xi_{20}}^3,\ \pm{\xi_{20}}^7,\ \pm{\xi_{20}}^9$ である。

ちなみに，各 ${\xi_{20}}^n$ の具体的な値を求めると，次のようになる；

${\xi_{20}}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{5}-1}{4}i$
${\xi_{20}}^2=\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i$
${\xi_{20}}^3=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{5}+1}{4}i$
${\xi_{20}}^4=\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i$
${\xi_{20}}^5=i$
${\xi_{20}}^6=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i$
${\xi_{20}}^7=-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{5}+1}{4}i$
${\xi_{20}}^8=-\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i$
${\xi_{20}}^9=-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{5}-1}{4}i$
${\xi_{20}}^{10}=-1$

なお，8次以上の項はすべて，7次以下の項の和で表すことができる。
なぜなら ${\xi_{20}}^8-{\xi_{20}}^6+{\xi_{20}}^4-{\xi_{20}}^2+1=0$ であるから。

$\mathbb{Q}$ の8次ガロア拡大体
　 $\mathbb{Q}({\xi_{20}})=\{\ a+b{\xi_{20}}+c{\xi_{20}}^2+d{\xi_{20}}^3+e{\xi_{20}}^4+f{\xi_{20}}^5+g{\xi_{20}}^6+h{\xi_{20}}^7\ |\ a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g,\ h\in\mathbb{Q}\ \}$
を考える。

$\mathbb{Q}({\xi_{20}})$ の写像 $\sigma^n$ を
　　 $\sigma^n({\xi_{20}})={\xi_{20}}^n$
で定義すると，
$\mathbb{Q}({\xi_{20}})$ の $\mathbb{Q}$ 上のガロア群 $G$ は
　　 $G=\{\ e,\ \sigma^3,\ \sigma^7,\ \sigma^9,\ \sigma^{11},\ \sigma^{13},\ \sigma^{17},\ \sigma^{19}\ \}$

	$e$	$\sigma^3$	$\sigma^7$	$\sigma^9$	$\sigma^{11}$	$\sigma^{13}$	$\sigma^{17}$	$\sigma^{19}$
1	1	1	1	1	1	1	1	1
${\xi_{20}}$	${\xi_{20}}$	${\xi_{20}}^3$	${\xi_{20}}^7$	${\xi_{20}}^9$	$-{\xi_{20}}$	$-{\xi_{20}}^7$	$-{\xi_{20}}^3$	$-{\xi_{20}}$
${\xi_{20}}^2$	${\xi_{20}}^2$	${\xi_{20}}^6$	$-{\xi_{20}}^4$	$-{\xi_{20}}^8$	${\xi_{20}}^2$	${\xi_{20}}^6$	$-{\xi_{20}}^4$	$-{\xi_{20}}^8$
${\xi_{20}}^3$	${\xi_{20}}^3$	${\xi_{20}}^9$	${\xi_{20}}$	${\xi_{20}}^7$	${\xi_{20}}^{13}$	${\xi_{20}}^{19}$	${\xi_{20}}^{11}$	${\xi_{20}}^^{17}$
${\xi_{20}}^4$	${\xi_{20}}^4$	$-{\xi_{20}}^2$	${\xi_{20}}^8$	$-{\xi_{20}}^6$	${\xi_{20}}^4$	$-{\xi_{20}}^2$	${\xi_{20}}^8$	$-{\xi_{20}}^6$
${\xi_{20}}^5$	${\xi_{20}}^5$	$-{\xi_{20}}^5$	$-{\xi_{20}}^5$	${\xi_{20}}^5$	$-{\xi_{20}}^5$	${\xi_{20}}^5$	${\xi_{20}}^5$	$-{\xi_{20}}^5$
${\xi_{20}}^6$	${\xi_{20}}^6$	$-{\xi_{20}}^8$	${\xi_{20}}^2$	$-{\xi_{20}}^4$	${\xi_{20}}^6$	$-{\xi_{20}}^8$	${\xi_{20}}^2$	$-{\xi_{20}}^4$
${\xi_{20}}^7$	${\xi_{20}}^7$	${\xi_{20}}$	${\xi_{20}}^9$	${\xi_{20}}^3$	$-{\xi_{20}}^7$	$-{\xi_{20}}$	$-{\xi_{20}}^9$	$-{\xi_{20}}^3$
${\xi_{20}}^8$	${\xi_{20}}^8$	${\xi_{20}}^4$	$-{\xi_{20}}^6$	$-{\xi_{20}}^2$	${\xi_{20}}^8$	${\xi_{20}}^4$	$-{\xi_{20}}^6$	$-{\xi_{20}}^2$
${\xi_{20}}^9$	${\xi_{20}}^9$	${\xi_{20}}^7$	${\xi_{20}}^3$	${\xi_{20}}$	$-{\xi_{20}}^9$	$-{\xi_{20}}^7$	$-{\xi_{20}}^3$	$-{\xi_{20}}$

このとき，「ガロア群 $G$ の部分群」と「体 $\mathbb{Q}({\xi_{20}})$ の部分体」との関係は，以下の通り；

$\{\ e\ \}$	$\mathbb{Q}({\xi_{20}})=\{\ a+b{\xi_{20}}+c{\xi_{20}}^2+d{\xi_{20}}^3+e{\xi_{20}}^4+f{\xi_{20}}^5+g{\xi_{20}}^6+h{\xi_{20}}^7\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^{11}\ \}$	$\mathbb{Q}({\xi_{20}}^2)=\{\ a+b{\xi_{20}}^2+c{\xi_{20}}^4+d{\xi_{20}}^6\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^9\ \}$	$\mathbb{Q}({\xi_{20}}+{\xi_{20}}^9)=\mathbb{Q}(\frac{\sqrt{5}-1}{2}i)=\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)=\{\ a+b\sqrt{5}+ci+d\sqrt{5}i\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^{19}\ \}$	$\mathbb{Q}({\xi_{20}}-{\xi_{20}}^9)=\mathbb{Q}(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2})=\{\ a+b\sqrt{10+2\sqrt{5}}+c\sqrt{5}+d\sqrt{10-2\sqrt{5}}\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^9,\ \sigma^{13},\ \sigma^{17}\ \}$	$\mathbb{Q}({\xi_{20}}^5)=\mathbb{Q}(i)=\{\ a+bi\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^9,\ \sigma^{11},\ \sigma^{19}\ \}$	$\mathbb{Q}({\xi_{20}}^2-{\xi_{20}}^8)=\mathbb{Q}(\frac{\sqrt{5}+1}{2})=\{\ a+b\sqrt{5}\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^{3},\ \sigma^{7},\ \sigma^{9}\ \}$	$\mathbb{Q}({\xi_{20}}+{\xi_{20}}^3+{\xi_{20}}^7+{\xi_{20}}^9)=\mathbb{Q}(\sqrt{5}i)=\{\ a+b\sqrt{5}i\ \}$
$G$	$\mathbb{Q}$