座標平面

点Aを中心とする縦軸s、横軸tの直交座標上の点Pは次のように定義される。

$AA_1=1,AA_2=1,\overrightarrow{A'{A_1}'}\bot \overrightarrow{A'{A_2}'}$
とするとき、
$\overrightarrow{O'P'}=\overrightarrow{O'A'}+s\overrightarrow{A'{A_1}'}+t\overrightarrow{A'{A_2}'}$
$\iff \left( \begin{array}{c} s_p \\ t_p \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} s_a+s \\ t_a+t \end{array}\right)$

これが描く図形はsとtの関係式 $t=f(s)$ よって表現されるが、
$\overrightarrow{O'{P'}'}=\overrightarrow{O'B'}+u\overrightarrow{B'{B_1}'}+v\overrightarrow{B'{B_2}'}$
で定義されるuv直交座標に投射する際、
$OP&#039;=k(s,t)OP$ を満たすので、
uとvを、s,tを用いた式でそれぞれ表すことができる。
これを、 $s=g(u,v),t=h(u,v)$ とすると、
投射された図形の式は、
$h(u,v)=f(g(u,v))$

x軸方向からαの角度に長さnだけ進む、というのは、
$\overrightarrow{OX}=n(\cos\alpha,\sin\alpha)$
と表される。
$\overrightarrow{x}=(a,b)$ のとき、
90°だけ右側に倒した方向に進む直線は、
$\overrightarrow{y}=(b,-a)$
と表される。また、α[rad]回転させた場合は、
一次変換
$\left( \begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array}\right)$ を用いる。

格子の数

任意の二次方程式の内部の格子数Lは
$\sum_\alpha^{\beta} N_k$
となるが、この $N_k$ は明確には定められないため、
ガウス記号を用いて、
N_k = |f(k)|
f(k)-1 < N_k ≦ f(k)

これで挟み撃ちをする。

ベクトルの変形

$\overrightarrow{PA} \cdot \dott \overrightarrow{PB}=|PA||PB|cosPAB={|PA|^2+|PB|^2-|AB|^2 \over 2}$

定点を通る直線の表し方

定点(p,q)を通り、傾きx軸との傾きの角がθの直線について、
(1) $y-q=\tan\theta\cdot (x-p)$
(2) $\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} t\cos\theta \\ t\sin\theta \end{array} \right)$

また、2点 $A:(x_a,y_a),B:(x_b,y_b)$ を通る直線は、 $\overrightarrow{AB}=\left( \begin{array}{c} x_b-x_a \\ y_b-y_a \end{array} \right)$ だとすると、
その法線ベクトルは $\overrightarrow{n}=\left( \begin{array}{c} -y_b+y_a \\ x_b-x_a \end{array} \right)$ と表されるので、
直線ABは $(-y_b+y_a)(x-x_a)+(x_b-x_a)(y-y_a)=0$ と表される

反射

∠AOB=90°である直角三角形において、
AB上の点Pを用いて、
∠OPB=∠APQ
を満たすようにQをOA上にとる場合、
直線ABを挟んでQの反対側にある点Rを考えれば、
この点Qの座標を仮に置いておいたとして、
QRの中点がAB上にあること、RがOP上にあることから、
Qのベクトルを導き出せる。

接線の個数

三次関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ について、
三次関数には共通接線は存在しない。
したがって、任意の点 $(t,f(t))$ を用いてその接線は、
$y-f(t)=f&#039;(t)(x-t)$
と表され、これが特定の点(a,b)を通るとすると、
$b-f(t)=f&#039;(t)(a-t)$ を満たすことになり、
このtに関する方程式が3つの異なる解を持てば
3つの異なる接線を引けると言うことになる。
二次関数でも同様である。

直線の通過範囲

2点 $A:(x_a(t),y_a(t)),B:(x_b(t),y_b(t))$ で表される直線が通過する範囲を考える。
なお、 $x_a(t)...$ はいずれもtの一次関数とする。
直線ABは変数tを用いて、 $(-y_b(t)+y_a(t))(x-x_a(t))+(x_b(t)-x_a(t))(y-y_a(t))=0$ と表される。
これを二次方程式 $f(t)=pt^2+q(x,y)t+r(x,y)(p&gt;0)$ の形に書き直す。
少なくとも一つの特定の値t=αがf(α)=0を満たし得るような(x,y)の値を定めれば、それが通過範囲である。
(1)tが実数全体を動くとき、この式が成立するためには、判別式D≧0となればよい。
故に、直線ABの通過範囲は
$D=q(x,y)^2-4pr(x,y)\ge 0$
(2)tがある特定範囲(α,β)を動くとき、二次方程式であることから考えて、
D≧0,f(α)>0,f(β)>0,α<(軸)<bを満たせばよい。
(3)tが,xy座標上の特定空間dのみ通過するとき、その範囲をxとyの式で与え、
計算の途中で答えを限定してゆく。たとえば、(0,0)(1,0)(0,2)からなる三角形の内部を移動する場合、
x>0,y>0,2x+y<2 と与えられるため、仮にf(α)=x であれば、これは必ずf(α)>0 を満たすので、
f(α)<0 となる場合を考慮する必要はなくなる。
一次関数の場合は判別式を考慮する必要はなく、
一般に、傾きが０の場合を除いては必ず解は存在する。
ただし、解の存在範囲が限定されている場合は傾きと範囲のふちの値から考える。

拡大・縮小・移動

関数 $y=f(x)$ について、
$y=f\left(\frac{1}{n}(x-p)\right)$ は、
$y=f(x)$ の原点をx軸方向にp移動させた後、原点を中心として、
左右の長さをn倍した関数に等しい。

曲線の長さ

x=f(t),y=g(t)で表されるグラフの、[a,b]における長さは、
$L=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2+ \left(\frac{dy}{dt} \right)^2} dt$

弧扇法

$\left\{ \begin{array}{cc} x=e^t\cos t \\ y=e^t\sin t \end{array}\right.$
が表すものは、半径 $r(t)=e^t$ の円であるとみなせるので、これとx軸とが作る面積は、
$S=\int_0^{\pi} \frac{1}{2}\{r(t)\}^2d\theta$

グラフ

$y=\sqrt{x+1}$
$\iff x=y^2-1$
より放物線

$y=\sqrt{x^2+1}$
$\iff x^2-y^2=-1$
よって双曲線

円と点の距離

円の中心をO,半径をr,点をPとする。
円の外部に点があるとき、d=OP-r
円の内部に点があるとき、d=r-OP
2円C,C'からの距離が一定な点Pを考えると、
(ⅰ)2円の外部にあるとき、d=d'⇔OP-O'P=r-r'より、
　　小さい方の円の中心を焦点とする双曲線の片割れとなる
(ⅱ)2円の内部にある時、同じ結果
(ⅲ)一方の円の外部にあり、一方の円の内部にある時、
　　 d=d'⇔OP+O'P=r+r'より楕円となる
(ⅳ)(ⅲ)と逆の関係にある時も同様
また、この楕円と双曲線は互いに連続であるから、Pによって描かれる図形は
楕円と双曲線の一方となる。

球と点の距離

球の外部に点があるとき、d=OP-r
球の内部に点があるとき、d=r-OP
これは円と点の関係と同じである。

十字型座標とＸ字型座標の交換

$xy=k$ について、 $y=-x$ をs軸、 $y=x$ をt軸とする。
十字直交座標で点Pを $\left(c,\frac{k}{c}\right)$ (c>1)とおくと、
Pから $y=-x$ に下ろした足をHとして、OH=s,HP=tとすると、
$t=\frac{\left|{c+\frac{k}{c}}\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( c+\frac{k}{c} \right)\iff t^2=c^2+\frac{k^2}{c^2}$
また、 $OP=\sqrt{s^2+t^2}=\sqrt{c^2+\left( \frac{k}{c} \right)^2}\iff s^2+t^2=c^2+\frac{k^2}{c^2}=2t^2-2k$
$\iff t^2-s^2=2k$
よって、 $s^2=t^2-2k=\frac{1}{2}\left x + \frac{k^2}{c^2} -2k = \frac{1}{2}\left( c^2 + \frac{k^2}{c^2} -2k \left)=\frac{1}{2} \left( c-\frac{k}{c} \right)^2$
$\iff s= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( x-\frac{k}{x} \right)$
出互いに変換できる。

ある点とある直線の距離がわかっている場合

ある点 $(p,q)$ と、ある直線l: $ax+by+c=0$ について、
その間の距離がdであるとわかっているのであれば、
等式 $\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=d$ が成立する。

線分と軸に接した２円

図のように座標を長方形として捉える事が出来る。

漸近線

ある関数f(x)が与えられているとき、
その漸近線をy=ax+bで表すとすると、
$\lim_{x\to\infty} \{f(x)-(ax+b)\}=0$
を満たす値a,bをによって漸近線は定められる

(例)
$f(x)=x+2+\frac{1}{x}$ の漸近線をy=ax+bとすると、
$\lim_{x\to\infty} \left\{\left(x+2+\frac{1}{x}\right)-(ax+b)\right\}=0$
$\iff \lim_{x\to\infty} \left\{ (1-a)x+\frac{1}{x} +2-b \right\}=0$
$\iff 1-a=0,2-b=0 \iff a=1,b=2$
よって、漸近線は $y=x+2$

格子辺

これを満たす点の数は、
格子点と格子点の間の、xyそれぞれの方向への変位で考える。
なぜならば、格子点を通らないのでそれぞれ独立だからである。

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最終更新：2012年02月12日 18:52

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