級数 - center_math @ ウィキ - atwiki（アットウィキ）

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級数

各項を表せるもの

$\sum_{k=1}^n k = {1 \over 2}n(n+1)$

$\sum_{k=1}^n k^2 = {1 \over 6}n(n+1)(2n+1)$

$\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ {1 \over 2}n(n+1) \right\}^2$

$\sum_{k=1}^n n r^{n-1+k}=-\frac{1}{r-1}\left\{\frac{r^k}{r-1}-nr^{n+k} \right\}$ 証明

$a_n = a_1 +(n-1)q$
$\sum_{k=1}^n a_k={n \over 2} \{2a_1 + (n-1)q \} ={n \over 2}(a_1 + a_n)$

$a_n = a_1 p^{n-1}$
$\sum_{k=1}^n a_k = {{a_1(p^n -1)} \over {p-1}} = {a_1(1-p^n) \over {1-p}}$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1+\frac{1}{n+1}$

$\sum_{k=0}^n _nC_k a^k=(1+a)^n$

$\sum_{k=m}^n _kC_m ,(m\le k\le n)$
$_{k+1}C_{m+1}={}_kC_m+{}_kC_{m+1}\Longleftrightarrow~ _kC_m={}_{k+1}C_{m+1}-{}_kC_{m+1}$ より、
$\sum_{k=m}^n {}_kC_m={}_mC_m+\sum_{k=m+1}^n {}_{k+1}C_{m+1}-{}_kC_{m+1}={}_{n+1}C_{m+1}$

積分を用いて各項が表せるもの

$\sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k}$
ここで、
$1+x+x^2+x^3+...+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$
$\Longleftrightarrow~ \int 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n dx =\int \frac {1}{1-x} - \frac{x^{n+1}}{1-x} dx$
$\Longleftrightarrow~ x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... + \frac{x^{n+1}}{n+1}=-\log|1-x|-\int\frac{x^{n+1}}{1-x}dx$
故に、
$\sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k}=-\log|1-x|-\int\frac{x^{n+1}}{1-x}dx$

極限が表せるもの

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e$ 証明

$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{1}{k}=\log 2$

$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{1}{2k-1}=\frac{\pi}{4}$

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi}^2}{6}$

存在範囲が表せるもの

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$
ここで、 $y=\frac{1}{x}$ のグラフを想起すると、
x=1より←側の求積<S<→側の求積　より、
$\int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx <\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}<1+\int_1^n \frac{1}{x} dx$
$\Longleftrightarrow~ \log (n+1) < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}<1+\log n$

またこの級数は計算上次のように求められる。∑1/k

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最終更新：2012年09月01日 19:57

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