天体力学

万有引力

万有引力の大きさは次の式で表される。
$F=G\frac{Mm}{R^2}$
したがって、半径Rの円軌道を回る
速度vの物体に関する運動方程式は次のようになる。
$m\frac{v^2}{R}=G\frac{Mm}{R^2}$
$\iff v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$

ケプラーの法則

ケプラーの第1法則

惑星は太陽を一つのとする楕円軌道である

ケプラーの第2法則

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惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積は、一定である（面積速度一定）。

ケプラーの第3法則

T:公転周期,a:長半径
$T^2=ka^3$
<証明>
正円軌道にあるときの周期を $T_o$ 、半径を $R$ とすると、
$m\frac{v^2}{R}=G\frac{Mm}{R^2}\iff v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
このとき、 $T_o=\frac{2\pi R}{v}=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
これより、 $\frac{{T_o}^2}{R^3}=\frac{4\pi^2}{GM}$

宇宙速度

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第1宇宙速度

解法
惑星上を飛行するのに必要な最低速度
$v_1=\sqrt{GM \over R}$

第2宇宙速度

解法
惑星系を飛び去ってしまう最低速度
$v_2 = \sqrt{2GM \over R} = \sqrt{2} v_1$

第3宇宙速度

解法
恒星系を飛び去ってしまう最低速度
$v_3=\sqrt{G \left( {2M \over R} +(3-2 \sqrt{2}){M_S \over R_O} \right) }$

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最終更新：2013年03月24日 14:59

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