統計/平均 - HifeLacks - serenista@wiki

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■平均(相加平均、算術平均)

• 度数なし
  1. 基本公式
     • M = ΣX / n
  2. 簡便公式
     • M = G + {Σ(X-G) / n}
• 度数あり
  1. 基本公式
     • M = Σf(X) / Σf
  2. 簡便公式
     • M = G + {Σf(X-G) / Σf}
     • M = G + {Σf(X) / Σf}*C

• fは度数
• GはM以外の任意の値
• Cは階級幅

■平均の性質

1. 平均Mと項数nの積は変量Xの総和に等しい。
2. 平均Mと各変量Xとの差(偏差)の総和はゼロである。
3. 偏差の二乗の総和は、他のどんな値Gを基準にした時よりも小さい。
   1. 偏差の二乗の総和を最小にする基準値は「平均」である。（最小二乗法につながる）
4. 平均Mは天秤の支点を意味する。

■その他の平均

1. 幾何平均Mg (geometric mean, 相乗平均)
   • log(Mg) = Σ(log(X)) / n
   • 常にMg < M
   • 変量にゼロや負の値がある時は使わない
   • 比率とか指数とかの平均を見る時に使う
2. 中位数(メジアン)Me (median)
   • データを整列した時に中央にある値。変量の数が偶数の時は中央の二つの変量の平均
   • 極端な変量があっても影響を受けにくい
   • Σ|X - Me| ＜ Σ|X - M|
3. 並数・最頻値Mo (mode)
   • 極端な値を持った少数の変量があっても影響を受けない
   • Mo ≒ M - 3(M - Me) ※非対称分布の時

■平均偏差 (MD = mean deviation)
MD = Σ|X-Me| / n

実際にはMeでなくMを使うことが多い。