統計/母集団と標本 - HifeLacks - serenista@wiki

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■三つの集団
母集団、標本、標本平均の集まり

• 母集団
  • 母平均m、母分散σ2、母標準偏差σ
• 標本
  • 標本平均X~、標本分散S2、標本標準偏差S
  • X~(~はバーのつもり)の代わりにmXと表記する
• 標本平均
  • 標本平均の平均E(mX) = m
  • 標本平均の分散V(mX) = σ2 / n
  • 標本平均は、nが充分に大きければ、正規分布N(m, σ2/n)に近似的に従う
  • 母集団が正規分布に従うなら、nの大小に拘らず、N(m, σ2/n)に従う

■標本平均から母集団を推定する

1. 標本平均の分布はN(m, σ2/n)
2. 標本平均mXはnが大きくなると母平均mに接近する(一致性)
3. 標本平均mXの平均E(mX) = 母平均m (不偏性)
4. 標本平均mXを母平均mの推定量とする時、他のものを推定量に選ぶよりもmXの散らばりが小さい (有効性)

■標本分散と不偏分散

■無限母集団(平均m, 分散σ2)では

1. 母分散σ2の不偏推定量（不偏分散）は
   • u^2 = Σ(X-mX)^2 / (n-1)
   • E(u^2) = σ2
2. このn-1を「自由度(degree of freedom, d.f.)」という
3. nが充分大きければ、標本分散v^2は母分散σ2の推定量として使うことが許される
4. なお、
   • u^2 = v^2 * n/(n-1)

■自由度n-1

• 標本平均mXは母平均mの不偏推定量。不偏分散u^2は母分散σ2の不偏推定量
• 標本分散を求める時に標本平均X~を使う。
  1. Σ(X-mX) = 0となってしまう
  2. n-1個選べばn個目は決定される
  3. 制約が一つ増える⇔自由度が一つ減る

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■推定と信頼区間

• 信頼区間: 標本から母平均を推定して得られた区間(母平均が含まれる区間)
• 信頼度: 母平均が信頼区間の中に含まれると期待できる確率

■母分散σ2が判っている時

• 母平均が変わっても母分散はあまり変化しないので
• 標本平均mX, 標本数nから
• 信頼度95%なら信頼区間は
  • mX - 1.96・σ/√n < m < mX + 1.96・σ/√n
• 信頼度99%なら信頼区間は
  • mX - 2.58・σ/√n < m < mX + 2.58・σ/√n

■母分散が判らない時

• σ2 = S2・n/(n-1)として上を適用(不偏分散)

■母比率も同様

• 標本比率Rの時、母比率pを推定する
• 信頼度95%なら信頼区間は
  • R - 1.96・√{R・(1-R)/n} < p < R + 1.96・√{R・(1-R)/n}
• 信頼度99%なら信頼区間は
  • R - 2.58・√{R・(1-R)/n} < p < R + 2.58・√{R・(1-R)/n}