統計/分散と標準偏差 - HifeLacks - serenista@wiki

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■分散と標準偏差

• 分散(variance)
  • σ^2, Var(X), V(X), V
  • V = Σ(偏差の二乗) / n
    • 偏差(平均との差)の二乗の平均
  • V = {Σ(X^2) / n} - M^2
    • 変量の二乗の平均 - 平均の二乗

• 度数分布の分散
  • Σ{(階級値 - 平均値) × 相対度数}

• 標準偏差(standard deviation)
  • 分散の平方根。√V
  • σ = √{Σ(X-M)^2 / n}
  • σ = √{Σf(X-M)^2 / Σf}

■標準測度と偏差値

• 標準測度
  • t{i} = (x{i} - M) / σ
  • 平均との差を標準偏差で割った値
  • 平均との差が標準偏差の何倍に当たるか
  • 変量の値が資料全体の中でどのような位置にあるか
  • t{i} = 1 ということは
    • x{i} - M = σ、即ちx{i}は平均からσだけ離れている

• 偏差値
  • z{i} = 50 + 10*t{i}
  • 標準測度は負の値になることもあり、印象が悪い(^^)
  • 必ず非負の値になるのかな？
  • 偏差値60ということは
    • 標準測度t{i} = 1, 即ち平均からσだけ離れている

■チェビシェフの不等式

• n個の変量の平均値をM、標準偏差をσとすると、任意の正数λについて以下が成り立つ
• |x{i}-M|≦λ・σとなる資料の個数はn・(1-1/(λ^2))以上である
  • 平均との差が標準偏差のλ倍以内である資料の個数は、全体の(1-1/(λ^2))パーセント以上を占める
• λ=2なら、1-1/(2^2) = 1-1/4 = 3/4, 75%
  • 平均との差(の絶対値)が標準偏差の2倍以内である変量の個数は全体の75%以上
• 逆に言えば、|x{i}-M|＞λ・σとなる資料の個数はn・1/(λ^2)以下
  • 平均からλ×σ以上離れているデータは1/(λ^2)の割合しかない

■変化係数

• 標準偏差は「散らばりの大きさ」を表す
• 複数の標準偏差を比べる時、散らばりの相対的大きさを表すのが変化係数(CV)
• CV = σ/M
• 変化係数 = 標準偏差÷平均

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