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***II．時空とニセ「回転」
ローレンツ変換は，4次元座標$$(ct,x,y,z)$$の変換なのだった。
$$\left\{ \quad \begin{array}{l}ct^\prime = \gamma (ct-\beta x) \\ x^\prime = \gamma (x - \beta ct) \qquad , \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \quad , \quad \beta = \frac{v}{c} \\ y^\prime = y \\ z^\prime = z \end{array}\right.$$
$$ct^\prime,x^\prime$$のみ取り出して行列で書けば，
$$\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\gamma \quad -\gamma\beta \\ -\gamma\beta \quad \gamma\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct\\x\end{array}\right)$$
と書ける。これを双曲線関数を使って，
$$\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\cosh\alpha \quad -\sinh\alpha \\ -\sinh\alpha \quad \cosh\alpha\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} ct\\x\end{array}\right)\quad , \quad \begin{array}{c} \cosh\alpha=(e^\alpha+e^{-\alpha})/2 \\ \sinh\alpha=(e^\alpha-e^{-\alpha})/2 \end{array}$$
と書きかえることができ，3次元空間の回転とよく似た形になる。
****練習問題3
上の$$\alpha$$を求めよ。
ローレンツ変換は，4次元時空の擬似的な回転と見ることができるのだ！ただし，あくまでニセの回転だから，3次元空間の回転とはわけがちがう。
3次元空間の 回転 に対する不変量＝距離 は，
4次元時空の「回転」に対する不変量＝インタバル（時空距離，時空間隔）
におきかわる。
インタバル $$ds^2 = dct^2-dx^2-dy^2-dz^2$$
（ローレンツ変換の不変量）
時空上の変位$$(dct,dx,dy,dz)$$のローレンツ変換はもちろん，
$$\left(\begin{array}{c}dct^\prime \\dx^\prime\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\gamma \quad -\gamma\beta \\-\gamma\beta \quad \gamma\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dct\\dx\end{array}\right)\quad ,\quad dy^\prime=dy\quad,\quad dz^\prime=dz$$
である。
****練習問題4
$$ds^{\prime 2}=ds^2$$となることを確かめよ。
インタバル$$ds$$は，$$dct^2>dx^2+dy^2+dz^2$$に対しては
$$ds = cd\tau = cdt\sqrt{1-\frac{\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dz}{dt}\right)^2}{c^2}}$$
$$= cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$
となるから，速さ$$v$$で動く系の固有時間$$d\tau$$に光速をかけたものである。このとき$$ds$$は時間的であるという。固有時間は，相対性原理から考えて座標系によって変わるはずのない量だから，ローレンツ変換において不変量となるわけだ。
ただ，インタバルは$$ds^2<0$$（$$ds$$は虚数！）の場合にも常に不変量になる。このときは空間的インタバルといい，
$$-ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2-dct^2>0$$
は変換によって$$dct^\prime=0$$となる座標系に移ることにより，まさに3次元空間の距離の2乗になるのだ。
また$$ds$$は，光のダイヤグラムの上では常に0になり，光速不変の原理を意味する。つまり，$$ds^{\prime 2} = ds^2 = 0$$から
$$c = \frac{\sqrt{dx^{\prime 2}+dy^{\prime 2}+dz^{\prime 2}}}{dt^\prime} = \frac{\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}{dt}$$
***II．時空とニセ「回転」
ローレンツ変換は，4次元座標$$(ct,x,y,z)$$の変換なのだった。
$$\left\{ \quad \begin{array}{l}ct^\prime = \gamma (ct-\beta x) \\ x^\prime = \gamma (x - \beta ct) \qquad , \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \quad , \quad \beta = \frac{v}{c} \\ y^\prime = y \\ z^\prime = z \end{array}\right.$$
$$ct^\prime,x^\prime$$のみ取り出して行列で書けば，
$$\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\gamma \quad -\gamma\beta \\ -\gamma\beta \quad \gamma\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct\\x\end{array}\right)$$
と書ける。これを双曲線関数を使って，
$$\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\cosh\alpha \quad -\sinh\alpha \\ -\sinh\alpha \quad \cosh\alpha\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} ct\\x\end{array}\right)\quad , \quad \begin{array}{c} \cosh\alpha=(e^\alpha+e^{-\alpha})/2 \\ \sinh\alpha=(e^\alpha-e^{-\alpha})/2 \end{array}$$
と書きかえることができ，3次元空間の回転とよく似た形になる。
****練習問題3
上の$$\alpha$$を求めよ。
ローレンツ変換は，4次元時空の擬似的な回転と見ることができるのだ！ただし，あくまでニセの回転だから，3次元空間の回転とはわけがちがう。
3次元空間の 回転 に対する不変量＝距離 は，
4次元時空の「回転」に対する不変量＝インタバル（時空距離，時空間隔）
におきかわる。
インタバル $$ds^2 = dct^2-dx^2-dy^2-dz^2$$
（ローレンツ変換の不変量）
時空上の変位$$(dct,dx,dy,dz)$$のローレンツ変換はもちろん，
$$\left(\begin{array}{c}dct^\prime \\dx^\prime\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\gamma \quad -\gamma\beta \\-\gamma\beta \quad \gamma\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dct\\dx\end{array}\right)\quad ,\quad dy^\prime=dy\quad,\quad dz^\prime=dz$$
である。
****練習問題4
$$ds^{\prime 2}=ds^2$$となることを確かめよ。
インタバル$$ds$$は，$$dct^2>dx^2+dy^2+dz^2$$に対しては
$$ds = cd\tau = cdt\sqrt{1-\frac{\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dz}{dt}\right)^2}{c^2}}$$
$$= cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$
となるから，速さ$$v$$で動く系の固有時間$$d\tau$$に光速をかけたものである。このとき$$ds$$は時間的であるという。固有時間は，相対性原理から考えて座標系によって変わるはずのない量だから，ローレンツ変換において不変量となるわけだ。
ただ，インタバルは$$ds^2<0$$（$$ds$$は虚数！）の場合にも常に不変量になる。このときは空間的インタバルといい，
$$-ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2-dct^2>0$$
は変換によって$$dct^\prime=0$$となる座標系に移ることにより，まさに3次元空間の距離の2乗になるのだ。
また$$ds$$は，光のダイヤグラムの上では常に0になり，光速不変の原理を意味する。つまり，$$ds^{\prime 2} = ds^2 = 0$$から
$$c = \frac{\sqrt{dx^{\prime 2}+dy^{\prime 2}+dz^{\prime 2}}}{dt^\prime} = \frac{\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}{dt}$$
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