II．時空とニセ「回転」

　ローレンツ変換は，4次元座標 $(ct,x,y,z)$ の変換なのだった。

$\left\{ \quad \begin{array}{l}ct^\prime = \gamma (ct-\beta x) \\ x^\prime = \gamma (x - \beta ct) \qquad ,　 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \quad , \quad \beta = \frac{v}{c} \\ y^\prime = y \\ z^\prime = z \end{array}\right.$

$ct^\prime,x^\prime$ のみ取り出して行列で書けば，

$\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\gamma \quad -\gamma\beta \\ -\gamma\beta \quad \gamma\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct\\x\end{array}\right)$

と書ける。これを双曲線関数を使って，

$\left(\begin{array}{c}ct^\prime \\x^\prime\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\cosh\alpha \quad -\sinh\alpha \\ -\sinh\alpha \quad \cosh\alpha\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} ct\\x\end{array}\right)\quad , \quad \begin{array}{c} \cosh\alpha=(e^\alpha+e^{-\alpha})/2 \\ \sinh\alpha=(e^\alpha-e^{-\alpha})/2 \end{array}$

と書きかえることができ，3次元空間の回転とよく似た形になる。

練習問題3

　上の $\alpha$ を求めよ。

　ローレンツ変換は，4次元時空の擬似的な回転と見ることができるのだ！ただし，あくまでニセの回転だから，3次元空間の回転とはわけがちがう。
　3次元空間の　回転　に対する不変量＝距離　は，
　4次元時空の「回転」に対する不変量＝インタバル（時空距離，時空間隔）
におきかわる。

インタバル　　 $ds^2 = dct^2-dx^2-dy^2-dz^2$
　　　　　　　（ローレンツ変換の不変量）

時空上の変位 $(dct,dx,dy,dz)$ のローレンツ変換はもちろん，

$\left(\begin{array}{c}dct^\prime \\dx^\prime\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\gamma \quad -\gamma\beta \\-\gamma\beta \quad \gamma\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dct\\dx\end{array}\right)\quad　,\quad　dy^\prime=dy\quad,\quad　dz^\prime=dz$

である。

練習問題4

　 $ds^{\prime 2}=ds^2$ となることを確かめよ。

　インタバル $ds$ は， $dct^2&gt;dx^2+dy^2+dz^2$ に対しては

$ds = cd\tau = cdt\sqrt{1-\frac{\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dz}{dt}\right)^2}{c^2}}$
　　 $= cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

となるから，速さ $v$ で動く系の固有時間 $d\tau$ に光速をかけたものである。このとき $ds$ は時間的であるという。固有時間は，相対性原理から考えて座標系によって変わるはずのない量だから，ローレンツ変換において不変量となるわけだ。
　ただ，インタバルは $ds^2&lt;0$ （ $ds$ は虚数！）の場合にも常に不変量になる。このときは空間的インタバルといい，

$-ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2-dct^2&gt;0$