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****２段圧縮機
[[OKWave>http://okwave.jp/qa5095451.html]]の回答の再掲。
苦手な熱力学に挑戦。わけのわからぬ熱力学関数のあれこれやでんでんむし（$$\partial$$）の２段重ねがならぶのとちがって，これなら高校プラスアルファレベル？
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「中間冷却を行う隙間のない2段圧縮往復動式圧縮機を考える。低圧圧縮機により温度$$T_A$$、圧力$$P_A$$の理想気体(ガス定数$$R$$[J/(kg・K)]、比熱比$$\kappa$$)を吸収して可逆断熱的に圧力$$P_C$$まで圧縮し、等圧的に温度$$T_A$$まで冷却し、高圧圧縮機で可逆断熱的に圧力$$P_B$$まで圧縮して排出する。圧縮機を運転する全仕事量を最小にする条件は $${P_C}^2=P_A\times P_B$$ であることを導け。」
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（一部訂正）
まず確認ですが，最後の排出は等圧排出とします。
長いので，方針のみ示します。

体積変化を$$0\rightarrow V_1\rightarrow V_2\rightarrow V_3\rightarrow V_4\rightarrow 0$$とします。
変化を追跡すると
$$P_A{V_1}^\kappa=P_C{V_2}^\kappa$$
$$P_AV_1=P_CV_3$$
$$P_C{V_3}^\kappa=P_B{V_4}^\kappa$$
が成立します。これを用いて，
$$W_0=-\int_0^{V_1}PdV=-P_AV_1$$
$$W_1=-\int_{V_1}^{V_2}PdV=P_A{V_1}^\kappa\int_{V_2}^{V_1}V^{-\kappa}dV$$
$$W_2=-\int_{V_2}^{V_3}PdV=P_C(V_2-V_3)$$
$$W_3=-\int_{V_3}^{V_4}PdV=P_C{V_3}^\kappa\int_{V_4}^{V_3}V^{-\kappa}dV$$
$$W_4=-\int_{V_4}^0PdV=P_BV_4$$
を$$P_A,P_B,P_C,V_1,\kappa$$だけで書きなおします。
$$W=W_0+W_1+W_2+W_3+W_4$$　を$$P_C$$で微分して$$0$$とおき，$$W$$を最小とする$$P_C$$の条件を求めると，$${P_C}^2=P_AP_B$$　を得ます。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=150&file=Gas.bmp)
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****２段圧縮機
[[OKWave>http://okwave.jp/qa5095451.html]]の回答の再掲。
苦手な熱力学に挑戦。わけのわからぬ熱力学関数のあれこれやでんでんむし（$$\partial$$）の２段重ねがならぶのとちがって，これなら高校プラスアルファレベル？
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「中間冷却を行う隙間のない2段圧縮往復動式圧縮機を考える。低圧圧縮機により温度$$T_A$$、圧力$$P_A$$の理想気体(ガス定数$$R$$[J/(kg・K)]、比熱比$$\kappa$$)を吸収して可逆断熱的に圧力$$P_C$$まで圧縮し、等圧的に温度$$T_A$$まで冷却し、高圧圧縮機で可逆断熱的に圧力$$P_B$$まで圧縮して排出する。圧縮機を運転する全仕事量を最小にする条件は $${P_C}^2=P_A\times P_B$$ であることを導け。」
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（一部訂正を含む）
まず確認ですが，最後の排出は等圧排出とします。
長いので，方針のみ示します。

体積変化を$$0\rightarrow V_1\rightarrow V_2\rightarrow V_3\rightarrow V_4\rightarrow 0$$とします。
変化を追跡すると
$$P_A{V_1}^\kappa=P_C{V_2}^\kappa$$
$$P_AV_1=P_CV_3$$
$$P_C{V_3}^\kappa=P_B{V_4}^\kappa$$
が成立します。これを用いて，
$$W_0=-\int_0^{V_1}PdV=-P_AV_1$$
$$W_1=-\int_{V_1}^{V_2}PdV=P_A{V_1}^\kappa\int_{V_2}^{V_1}V^{-\kappa}dV$$
$$W_2=-\int_{V_2}^{V_3}PdV=P_C(V_2-V_3)$$
$$W_3=-\int_{V_3}^{V_4}PdV=P_C{V_3}^\kappa\int_{V_4}^{V_3}V^{-\kappa}dV$$
$$W_4=-\int_{V_4}^0PdV=P_BV_4$$
を$$P_A,P_B,P_C,V_1,\kappa$$だけで書きなおします。
$$W=W_0+W_1+W_2+W_3+W_4$$　を$$P_C$$で微分して$$0$$とおき，$$W$$を最小とする$$P_C$$の条件を求めると，$${P_C}^2=P_AP_B$$　を得ます。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=150&file=Gas.bmp)
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