２段圧縮機

OKWaveの回答の再掲。
苦手な熱力学に挑戦。わけのわからぬ熱力学関数のあれこれやでんでんむし（ $\partial$ ）の２段重ねがならぶのとちがって，これなら高校プラスアルファレベル？

「中間冷却を行う隙間のない2段圧縮往復動式圧縮機を考える。低圧圧縮機により温度 $T_A$ 、圧力 $P_A$ の理想気体(ガス定数 $R$ [J/(kg・K)]、比熱比 $\kappa$ )を吸収して可逆断熱的に圧力 $P_C$ まで圧縮し、等圧的に温度 $T_A$ まで冷却し、高圧圧縮機で可逆断熱的に圧力 $P_B$ まで圧縮して排出する。圧縮機を運転する全仕事量を最小にする条件は ${P_C}^2=P_A\times P_B$ であることを導け。」

（一部訂正を含む）
まず確認ですが，最後の排出は等圧排出とします。
長いので，方針のみ示します。

体積変化を $0\rightarrow V_1\rightarrow V_2\rightarrow V_3\rightarrow V_4\rightarrow 0$ とします。
変化を追跡すると
$P_A{V_1}^\kappa=P_C{V_2}^\kappa$
$P_AV_1=P_CV_3$
$P_C{V_3}^\kappa=P_B{V_4}^\kappa$
が成立します。これを用いて，
$W_0=-\int_0^{V_1}PdV=-P_AV_1$
$W_1=-\int_{V_1}^{V_2}PdV=P_A{V_1}^\kappa\int_{V_2}^{V_1}V^{-\kappa}dV$
$W_2=-\int_{V_2}^{V_3}PdV=P_C(V_2-V_3)$
$W_3=-\int_{V_3}^{V_4}PdV=P_C{V_3}^\kappa\int_{V_4}^{V_3}V^{-\kappa}dV$
$W_4=-\int_{V_4}^0PdV=P_BV_4$
を $P_A,P_B,P_C,V_1,\kappa$ だけで書きなおします。
$W=W_0+W_1+W_2+W_3+W_4$ 　を $P_C$ で微分して $0$ とおき， $W$ を最小とする $P_C$ の条件を求めると， ${P_C}^2=P_AP_B$ 　を得ます。