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****【解答】虹の広がり角
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=234&file=rainbow1.bmp)
図のように，半径 $$R$$ の球の中心から距離 $$x$$ の直線方向に入射した光を考える。球面での入射角 $$i$$，屈折角 $$r$$ とすると，屈折の法則により
$$\sin i = n\sin r = \frac{x}{R}$$
入射光と球を出て行く光のなす角を $$\theta$$ とおくと，青く塗りつぶした三角形の内角と外角の関係から，
$$\frac{\theta}{2} + (i-r) = r$$
$$\therefore \theta = 4r - 2i = 4\sin^{-1}\frac{x}{nR} - 2\sin^{-1}\frac{x}{R}$$
となる。
$$y =\sin^{-1}\frac{x}{R} \qquad {\rm i.e.} \quad \sin y = \frac{x}{R}$$
の両辺を $$x$$ で微分すると，
$$\cos y\cdot y^\prime = \frac{1}{R} \qquad \therefore y^\prime = \frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}$$
したがって，
$$\frac{d\theta}{dx} = \frac{4}{\sqrt{n^2R^2-x^2}} - \frac{2}{\sqrt{R^2-x^2}}$$
これを0とおいて，$$\theta$$ が停留値をとる $$x$$ を求めると，
$$x = R\cdot\sqrt{\frac{4-n^2}{3}}$$
このとき停留値は，
$$ \theta_0 = 4\sin^{-1}\sqrt{\frac{4-n^2}{3n^2}} - 2\sin^{-1}\sqrt{\frac{4-n^2}{3}}$$
となる。これが，虹を見込む中心角の半分（視半径）である。水滴による虹の場合に，水の屈折率 $$n=1.33$$ を代入すると，$$\theta_0 = 42.5$$ ° を得る。
同様に，２回反射による副虹の視半径を計算すると，
$$\theta_0 = 2i-6r+\pi = 2\sin^{-1}\sqrt{\frac{9-n^2}{8}} - 6\sin^{-1}\sqrt{\frac{9-n^2}{8n^2}} + \pi$$
となり，理論値として50.1°を得る。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=234&file=rainbow2.bmp)
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****【解答】虹の広がり角
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=234&file=rainbow1.bmp)
図のように，半径 $$R$$ の球の中心から距離 $$x$$ の直線方向に入射した光を考える。球面での入射角 $$i$$，屈折角 $$r$$ とすると，屈折の法則により
$$\sin i = n\sin r = \frac{x}{R}$$
入射光と球を出て行く光のなす角を $$\theta$$ とおくと，青く塗りつぶした三角形の内角と外角の関係から，
$$\frac{\theta}{2} + (i-r) = r$$
$$\therefore \theta = 4r - 2i = 4\sin^{-1}\frac{x}{nR} - 2\sin^{-1}\frac{x}{R}$$
となる。
$$y =\sin^{-1}\frac{x}{R} \qquad {\rm i.e.} \quad \sin y = \frac{x}{R}$$
の両辺を $$x$$ で微分すると，
$$\cos y\cdot y^\prime = \frac{1}{R} \qquad \therefore y^\prime = \frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}$$
したがって，
$$\frac{d\theta}{dx} = \frac{4}{\sqrt{n^2R^2-x^2}} - \frac{2}{\sqrt{R^2-x^2}}$$
これを0とおいて，$$\theta$$ が停留値をとる $$x$$ を求めると，
$$x = R\cdot\sqrt{\frac{4-n^2}{3}}$$
このとき停留値は，
$$ \theta_0 = 4\sin^{-1}\sqrt{\frac{4-n^2}{3n^2}} - 2\sin^{-1}\sqrt{\frac{4-n^2}{3}}$$
となる。これが，虹を見込む中心角の半分（視半径）である。水滴による虹の場合に，水の屈折率 $$n=1.33$$ を代入すると，$$\theta_0 = 42.5$$ ° を得る。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=234&file=rainbow2.bmp)
同様に，２回反射による副虹の視半径を計算すると，
$$\theta_0 = 2i-6r+\pi = 2\sin^{-1}\sqrt{\frac{9-n^2}{8}} - 6\sin^{-1}\sqrt{\frac{9-n^2}{8n^2}} + \pi$$
となり，理論値として50.1°を得る。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=234&file=rainbow3.bmp)
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