【解答】虹の広がり角 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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【解答】虹の広がり角

図のように，半径 $R$ の球の中心から距離 $x$ の直線方向に入射した光を考える。球面での入射角 $i$ ，屈折角 $r$ とすると，屈折の法則により

$\sin i = n\sin r = \frac{x}{R}$

入射光と球を出て行く光のなす角を $\theta$ とおくと，青く塗りつぶした三角形の内角と外角の関係から，

$\frac{\theta}{2} + (i-r) = r$

$\therefore \theta = 4r - 2i = 4\sin^{-1}\frac{x}{nR} - 2\sin^{-1}\frac{x}{R}$

となる。

$y =\sin^{-1}\frac{x}{R} \qquad {\rm i.e.} \quad \sin y = \frac{x}{R}$

の両辺を $x$ で微分すると，

$\cos y\cdot y^\prime = \frac{1}{R} \qquad \therefore y^\prime = \frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}$

したがって，

$\frac{d\theta}{dx} = \frac{4}{\sqrt{n^2R^2-x^2}} - \frac{2}{\sqrt{R^2-x^2}}$

これを0とおいて， $\theta$ が停留値をとる $x$ を求めると，

$x = R\cdot\sqrt{\frac{4-n^2}{3}}$

このとき停留値は，

$\theta_0 = 4\sin^{-1}\sqrt{\frac{4-n^2}{3n^2}} - 2\sin^{-1}\sqrt{\frac{4-n^2}{3}}$

となる。これが，虹を見込む中心角の半分（視半径）である。水滴による虹の場合に，水の屈折率 $n=1.33$ を代入すると， $\theta_0 = 42.5$ ° を得る。

同様に，２回反射による副虹の視半径を計算すると，

$\theta_0 = 2i-6r+\pi = 2\sin^{-1}\sqrt{\frac{9-n^2}{8}} - 6\sin^{-1}\sqrt{\frac{9-n^2}{8n^2}} + \pi$

となり，理論値として50.1°を得る。

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最終更新：2009年12月04日 13:45

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