「【解答】すべるブロックに連結した振子」の編集履歴（バックアップ）一覧はこちら

【解答】すべるブロックに連結した振子 - (2009/12/06 (日) 01:33:31) の１つ前との変更点

追加された行は緑色になります。

削除された行は赤色になります。

****【解答】すべるブロックに連結した振子
----
(1)

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=238&file=miyazaki09-2.bmp)


小球の最下点における，小球およびブロックの速度を $$v,V$$ とおくと，運動量の水平成分は保存されるから，

$$mv+MV=0 \qquad \therefore V = -\frac{m}{M}\; v$$

またエネルギー保存により，

$$mgL(1 - \cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$$

$$\therefore v = \sqrt{\frac{2MgL(1-\cos\theta_0)}{M+m}},\quad V = -m\sqrt{\frac{2gL(1-\cos\theta_0)}{M(M+m)}}$$

(2)

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=238&file=miyazaki09-3.bmp)
※実際には $$V$$ の方向は逆向きである。

ある時刻における糸の角度を $$\theta$$，小球およびブロックの水平位置座標を $$x,X$$，水平速度成分を$$v,V$$とおくと，水平方向の運動量保存により

$$V = -\frac{m}{M}\; v$$

このとき系のエネルギーは，

$$E \fallingdotseq \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 + mgL(1-\cos\theta)$$

と書ける。上の結果および微小角の近似を用いて，

$$E \fallingdotseq \frac{1}{2}\frac{M+m}{M}\;mv^2 + \frac{1}{2}mgL\theta^2$$

また，

$$v - V = \frac{M+m}{M}\;v ,\qquad \theta \fallingdotseq \frac{x-X}{L}$$

によって，

$$E \fallingdotseq \frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m}(v-V)^2 + \frac{1}{2}\frac{mg}{L}\;(x-X)^2$$

一般に，単振動をする系のエネルギーは

$$E = \frac{1}{2}\mu V^2 + \frac{1}{2}KX^2$$

と書け，このとき周期は

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{K}}$$

となる。比較により

$$\mu = \frac{Mm}{M+m},\qquad K = \frac{mg}{L}$$

であるから求める周期は，

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}\cdot\frac{M}{M+m}}$$

となる。

※ Algodoo の設定は，$$M = 3m, L = 3.0{\rm [m]}$$ である。
----

****【解答】すべるブロックに連結した振子
----
(1)

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=238&file=miyazaki09-2.bmp)


小球の最下点における，小球およびブロックの速度を $$v,V$$ とおくと，運動量の水平成分は保存されるから，

$$mv+MV=0 \qquad \therefore V = -\frac{m}{M}\; v$$

またエネルギー保存により，

$$mgL(1 - \cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$$

$$\therefore v = \sqrt{\frac{2MgL(1-\cos\theta_0)}{M+m}},\quad V = -m\sqrt{\frac{2gL(1-\cos\theta_0)}{M(M+m)}}$$

(2)

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=238&file=miyazaki09-3.bmp)
※実際には $$V$$ の方向は逆向きである。

ある時刻における糸の角度を $$\theta$$，小球およびブロックの水平位置座標を $$x,X$$，水平速度成分を$$v,V$$とおくと，水平方向の運動量保存により

$$V = -\frac{m}{M}\; v$$

このとき系のエネルギーは，

$$E \fallingdotseq \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 + mgL(1-\cos\theta)$$

と書ける。上の結果および微小角の近似を用いて，

$$E \fallingdotseq \frac{1}{2}\frac{M+m}{M}\;mv^2 + \frac{1}{2}mgL\theta^2$$

また，

$$v - V = \frac{M+m}{M}\;v ,\qquad \theta \fallingdotseq \frac{x-X}{L}$$

によって，

$$E \fallingdotseq \frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m}(v-V)^2 + \frac{1}{2}\frac{mg}{L}\;(x-X)^2$$

一般に，単振動をする系のエネルギーは

$$E = \frac{1}{2}\mu V^2 + \frac{1}{2}KX^2$$

と書け，このとき周期は

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{K}}$$

となる。比較により

$$\mu = \frac{Mm}{M+m},\qquad K = \frac{mg}{L}$$

であるから求める周期は，

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}\cdot\frac{M}{M+m}}$$

となる。

※ Algodoo の設定は，$$M = 3m, L = 3.0{\rm [m]}$$ である。
----
#Video(http://www.youtube.com/watch?v=s1pY7T9tEac)
----