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【解答】すべるブロックに連結した振子
(1)



小球の最下点における，小球およびブロックの速度を v,V とおくと，運動量の水平成分は保存されるから，

mv+MV=0 \qquad \therefore V = -\frac{m}{M}\; v

またエネルギー保存により，

mgL(1 - \cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2

\therefore v = \sqrt{\frac{2MgL(1-\cos\theta_0)}{M+m}},\quad V = -m\sqrt{\frac{2gL(1-\cos\theta_0)}{M(M+m)}}

(2)

※実際には V の方向は逆向きである。

ある時刻における糸の角度を \theta，小球およびブロックの水平位置座標を x,X，水平速度成分をv,Vとおくと，水平方向の運動量保存により

V = -\frac{m}{M}\; v

このとき系のエネルギーは，

E \fallingdotseq \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 + mgL(1-\cos\theta)

と書ける。上の結果および微小角の近似を用いて，

E \fallingdotseq \frac{1}{2}\frac{M+m}{M}\;mv^2 + \frac{1}{2}mgL\theta^2

また，

v - V = \frac{M+m}{M}\;v ,\qquad \theta \fallingdotseq \frac{x-X}{L}

によって，

E \fallingdotseq \frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m}(v-V)^2 + \frac{1}{2}\frac{mg}{L}\;(x-X)^2

一般に，単振動をする系のエネルギーは

E = \frac{1}{2}\mu V^2 + \frac{1}{2}KX^2

と書け，このとき周期は

T = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{K}}

となる。比較により

\mu = \frac{Mm}{M+m},\qquad K = \frac{mg}{L}

であるから求める周期は，

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}\cdot\frac{M}{M+m}}

となる。

※ Algodoo の設定は，M = 3m, L = 3.0{\rm [m]} である。

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最終更新：2009年12月06日 01:33