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****【解答】ばね連結台車のキャッチボール
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【問題】$$\rightarrow$$　[[ばね連結台車のキャッチボール]]

(1)

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=326&file=Catch1.bmp)


求める台車の速さを左向きに $$V$$ とおくと，水平方向の運動量保存により，

$$MV - mv_0\cos\theta = 0 \qquad \therefore V = \frac{m}{M}\;v_0\cos\theta$$

を得る。

(2)

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=326&file=Catch2.bmp)


左向きを正として，水平方向の運動方程式は

$$Ma_1 = -k(x_1-x_2)$$

$$Ma_2 = k(x_1-x_2)$$

となる。辺々引くと，

$$M(a_1 - a_2) = -2k(x_1-x_2) \quad {\rm i.e.} \quad a_1-a_2 = -\frac{2k}{M}\;(x_1-x_2)$$

したがって，求める周期は

$$T = 2\pi\sqrt\frac{M}{2k}$$

であり，台車A，Bは速度が0から $$V$$ までを交互に増減する運動をする。このとき，両者の重心は，速度 $$V/2$$ の等速度運動をする。

ばねの伸びの最大値を $$A$$ とすると，エネルギー保存により，

$$\frac{1}{2}MV^2 = \frac{1}{2}2M\left(\frac{V}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}kA^2$$

または，相対変位の単振動のエネルギー保存により，

$$\frac{1}{2}2kA^2 = \frac{1}{2}MV^2 \quad \therefore A = V\sqrt\frac{M}{2k} = \frac{mv_0\cos\theta}{\sqrt{2kM}}$$

を得る。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=326&file=Catch3.bmp)


(3)

題意より，小球がBに到達する瞬間にBの速度が左向き $$V$$ であればよい。そうすると，(1)の運動量保存と同じ関係が成立して系の運動量は0となって静止する。このとき，ばねは自然長にもどるから小球の滞空時間は $$T/2$$ であることになる。

鉛直方向の運動から，

$$\frac{T}{2} = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$$

また，水平方向の運動から，

$$\left(v_0\cos\theta + \frac{V}{2}\right)\cdot\frac{T}{2} = L$$

両式を，$$v_0 , k$$ の連立方程式として解いて

$$v_0 = \sqrt\frac{2MgL}{(2M+m)\sin 2\theta} \quad , \quad k = \frac{\pi^2(2M+m)g}{8L\tan\theta}$$

を得る。

****【解答】ばね連結台車のキャッチボール
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【問題】$$\rightarrow$$　[[ばね連結台車のキャッチボール]]

(1)

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=326&file=Catch1.bmp)


求める台車の速さを左向きに $$V$$ とおくと，水平方向の運動量保存により，

$$MV - mv_0\cos\theta = 0 \qquad \therefore V = \frac{m}{M}\;v_0\cos\theta$$

を得る。

(2)

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=326&file=Catch2.bmp)


左向きを正として，水平方向の運動方程式は

$$Ma_1 = -k(x_1-x_2)$$

$$Ma_2 = k(x_1-x_2)$$

となる。辺々引くと，

$$M(a_1 - a_2) = -2k(x_1-x_2) \quad {\rm i.e.} \quad a_1-a_2 = -\frac{2k}{M}\;(x_1-x_2)$$

したがって，求める周期は

$$T = 2\pi\sqrt\frac{M}{2k}$$

であり，台車A，Bは速度が0から $$V$$ までを交互に増減する運動をする。このとき，両者の重心は，速度 $$V/2$$ の等速度運動をする。

ばねの伸びの最大値を $$A$$ とすると，エネルギー保存により，

$$\frac{1}{2}MV^2 = \frac{1}{2}2M\left(\frac{V}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}kA^2$$

または，相対変位の単振動のエネルギー保存により，

$$\frac{1}{2}2kA^2 = \frac{1}{2}MV^2 \quad \therefore A = V\sqrt\frac{M}{2k} = \frac{mv_0\cos\theta}{\sqrt{2kM}}$$

を得る。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=326&file=Catch3.bmp)


(3)

題意より，小球がBに到達する瞬間にBの速度が左向き $$V$$ であればよい。そうすると，(1)の運動量保存と同じ関係が成立して系の運動量は0となって静止する。このとき，ばねは自然長にもどるから小球の滞空時間は $$T/2$$ であることになる。

鉛直方向の運動から，

$$\frac{T}{2} = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$$

また，水平方向の運動から，

$$\left(v_0\cos\theta + \frac{V}{2}\right)\cdot\frac{T}{2} = L$$

両式を，$$v_0 , k$$ の連立方程式として解いて

$$v_0 = \sqrt\frac{2MgL}{(2M+m)\sin 2\theta} \quad , \quad k = \frac{\pi^2(2M+m)g}{8L\tan\theta}$$

を得る。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=326&file=Catch4.bmp)
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