【解答】ばね連結台車のキャッチボール - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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【解答】ばね連結台車のキャッチボール

【問題】 $\rightarrow$ 　ばね連結台車のキャッチボール

(1)

求める台車の速さを左向きに $V$ とおくと，水平方向の運動量保存により，

$MV - mv_0\cos\theta = 0 \qquad \therefore V = \frac{m}{M}\;v_0\cos\theta$

を得る。

(2)

左向きを正として，水平方向の運動方程式は

$Ma_1 = -k(x_1-x_2)$

$Ma_2 = k(x_1-x_2)$

となる。辺々引くと，

$M(a_1 - a_2) = -2k(x_1-x_2) \quad {\rm i.e.} \quad a_1-a_2 = -\frac{2k}{M}\;(x_1-x_2)$

したがって，求める周期は

$T = 2\pi\sqrt\frac{M}{2k}$

であり，台車A，Bは速度が0から $V$ までを交互に増減する運動をする。このとき，両者の重心は，速度 $V/2$ の等速度運動をする。

ばねの伸びの最大値を $A$ とすると，エネルギー保存により，

$\frac{1}{2}MV^2 = \frac{1}{2}2M\left(\frac{V}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}kA^2$

または，相対変位の単振動のエネルギー保存により，

$\frac{1}{2}2kA^2 = \frac{1}{2}MV^2 \quad \therefore A = V\sqrt\frac{M}{2k} = \frac{mv_0\cos\theta}{\sqrt{2kM}}$

を得る。

(3)

題意より，小球がBに到達する瞬間にBの速度が左向き $V$ であればよい。そうすると，(1)の運動量保存と同じ関係が成立して系の運動量は0となって静止する。このとき，ばねは自然長にもどるから小球の滞空時間は $T/2$ であることになる。

鉛直方向の運動から，

$\frac{T}{2} = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$

また，水平方向の運動から，

$\left(v_0\cos\theta + \frac{V}{2}\right)\cdot\frac{T}{2} = L$

両式を， $v_0 , k$ の連立方程式として解いて

$v_0 = \sqrt\frac{2MgL}{(2M+m)\sin 2\theta} \quad , \quad k = \frac{\pi^2(2M+m)g}{8L\tan\theta}$

を得る。

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最終更新：2010年01月15日 14:22

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