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運動座標系による運動方程式（２） - (2012/03/14 (水) 21:34:00) の１つ前との変更点
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****運動座標系による運動方程式（２）
いよいよ本題。加速系への座標変換の副作用として表れる「慣性力」の数々。
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*****(2) 運動方程式の変換
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=367&file=comotion2.bmp)
質点の位置ベクトルをS系で$$\boldsymbol{r}$$，S'系で $$\boldsymbol{r}^\prime$$と書く。ある瞬間に，S'系の原点がS系から見て$$\boldsymbol{r}_0$$にあり，さらにS'系がS系に対して角速度$$\boldsymbol{\omega}$$で回転しているとすると，
$$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_0 + \boldsymbol{r}^\prime$$
$$\therefore \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = \frac{d\boldsymbol{r}_0}{dt} + \frac{d\boldsymbol{r}^\prime}{dt} = \frac{d\boldsymbol{r}_0}{dt} + \frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt} + \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}^\prime$$
となる。さらに微分すると，質点の加速度として
$$\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = \frac{d^2\boldsymbol{r}_0}{dt^2} + \frac{d}{dt}\left(\frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt}\right) + \frac{d}{dt}(\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}^\prime)$$
$$=\frac{d^2\boldsymbol{r}_0}{dt^2} + \frac{D^2\boldsymbol{r}^\prime}{dt^2} + 2\boldsymbol{\omega}\times\frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt} + \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\times\boldsymbol{r}^\prime + \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}^\prime)$$
を得る。S系における質点の運動方程式は，力を$$\boldsymbol{F}$$とすれば，
$$m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = F$$
であるから，この運動方程式のS'系における表現は，
$$m\frac{D^2\boldsymbol{r}^\prime}{dt^2} = F - m\frac{d^2\boldsymbol{r}_0}{dt^2} - 2m\boldsymbol{\omega}\times\frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt} - m\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}^\prime) - m\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\times\boldsymbol{r}^\prime$$
となる。右辺第2項は並進加速度による慣性力，第3項はコリオリ力，第4項は遠心力，第5項は角速度の変化（回転の加速，回転軸の移動）による慣性力をそれぞれ意味している。
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****運動座標系による運動方程式（２）
いよいよ本題。加速系への座標変換の副作用として表れる「慣性力」の数々。
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*****(2) 運動方程式の変換
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=367&file=comotion2.bmp)
質点の位置ベクトルをS系で$$\boldsymbol{r}$$，S'系で $$\boldsymbol{r}^\prime$$と書く。ある瞬間に，S'系の原点がS系から見て$$\boldsymbol{r}_0$$にあり，さらにS'系がS系に対して角速度$$\boldsymbol{\omega}$$で回転しているとすると，
$$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_0 + \boldsymbol{r}^\prime$$
$$\therefore \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = \frac{d\boldsymbol{r}_0}{dt} + \frac{d\boldsymbol{r}^\prime}{dt} = \frac{d\boldsymbol{r}_0}{dt} + \frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt} + \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}^\prime$$
となる。さらに微分すると，質点の加速度として
$$\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = \frac{d^2\boldsymbol{r}_0}{dt^2} + \frac{d}{dt}\left(\frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt}\right) + \frac{d}{dt}(\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}^\prime)$$
$$=\frac{d^2\boldsymbol{r}_0}{dt^2} + \frac{D^2\boldsymbol{r}^\prime}{dt^2} + 2\boldsymbol{\omega}\times\frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt} + \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\times\boldsymbol{r}^\prime + \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}^\prime)$$
を得る。力を$$\boldsymbol{F}$$とすれば，S系における質点の運動方程式は，
$$m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = F$$
であるから，この運動方程式のS'系における表現は，
$$m\frac{D^2\boldsymbol{r}^\prime}{dt^2} = F - m\frac{d^2\boldsymbol{r}_0}{dt^2} - 2m\boldsymbol{\omega}\times\frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt} - m\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}^\prime) - m\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\times\boldsymbol{r}^\prime$$
となる。右辺第2項は並進加速度による慣性力，第3項はコリオリ力，第4項は遠心力，第5項は角速度の変化（回転の加速，回転軸の移動）による慣性力をそれぞれ意味している。
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