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【解答】回転の慣性 - (2010/04/02 (金) 09:59:57) の１つ前との変更点
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****【解答】回転の慣性
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【問題】 $$\rightarrow$$ [[回転の慣性]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=377&file=Inertia.bmp)
(1)
ラグランジアンを書き下ろすのが，簡明である。円筒の振動中心からの変位を$$x$$として，
$$L = \frac{1}{2}M\dot{X}^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 - \frac{1}{2}kX^2$$
ただし，
$$I = \frac{1}{2}mr^2$$
は，円筒の慣性モーメント。また，
$$x = X - r\theta$$
である。微分して運動方程式をつくると，
$$\ddot{X} - \frac{m}{M+m}r\ddot{\theta} = -\frac{k}{M+m}X$$
$$\ddot{X} - \frac{3}{2}r\ddot{\theta} = 0$$
を得る。
(2)
(1)の両式から$$\ddot{\theta}$$を消去すれば，
$$\ddot{X} = -\frac{3k}{3M+m}X$$
となり，振動の周期
$$T = 2\pi\sqrt\frac{3M+m}{3k}$$
を得る。
(3)
(1)の第２式を積分すれば，振幅
$$\theta_0 = \frac{2A}{3r}$$
を得る。ちなみに，$$x$$の振幅は
$$x_0 = A - r\theta_0 = \frac{1}{3}A$$
であり，台に対する円筒の振幅は$$2A/3$$となる。
****【解答】回転の慣性
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【問題】 $$\rightarrow$$ [[回転の慣性]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=377&file=Inertia.bmp)
(1)
ラグランジアンを書き下ろすのが，簡明である。円筒の振動中心からの変位を$$x$$として，
$$L = \frac{1}{2}M\dot{X}^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 - \frac{1}{2}kX^2$$
ただし，
$$I = \frac{1}{2}mr^2$$
は，円筒の慣性モーメント。また，
$$x = X - r\theta$$
である。微分して運動方程式をつくると，
$$\ddot{X} - \frac{m}{M+m}r\ddot{\theta} = -\frac{k}{M+m}X$$
$$\ddot{X} - \frac{3}{2}r\ddot{\theta} = 0$$
を得る。
(2)
(1)の両式から$$\ddot{\theta}$$を消去すれば，
$$\ddot{X} = -\frac{3k}{3M+m}X$$
となり，振動の周期
$$T = 2\pi\sqrt\frac{3M+m}{3k}$$
を得る。
(3)
(1)の第２式を積分すれば，振幅
$$\theta_0 = \frac{2A}{3r}$$
を得る。ちなみに，$$x$$の振幅は
$$x_0 = A - r\theta_0 = \frac{1}{3}A$$
であり，台に対する円筒の振幅は$$2A/3$$となる。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=378&file=Inertia2.bmp)
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