【解答】回転の慣性

【問題】　 $\rightarrow$ 　回転の慣性

(1)

ラグランジアンを書き下ろすのが，簡明である。円筒の振動中心からの変位を $x$ として，

$L = \frac{1}{2}M\dot{X}^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 - \frac{1}{2}kX^2$

ただし，

$I = \frac{1}{2}mr^2$

は，円筒の慣性モーメント。また，

$x = X - r\theta$

である。微分して運動方程式をつくると，

$\ddot{X} - \frac{m}{M+m}r\ddot{\theta} = -\frac{k}{M+m}X$

$\ddot{X} - \frac{3}{2}r\ddot{\theta} = 0$

を得る。

(2)

(1)の両式から $\ddot{\theta}$ を消去すれば，

$\ddot{X} = -\frac{3k}{3M+m}X$

となり，振動の周期

$T = 2\pi\sqrt\frac{3M+m}{3k}$

を得る。

(3)

(1)の第２式を積分すれば，振幅

$\theta_0 = \frac{2A}{3r}$

を得る。ちなみに， $x$ の振幅は

$x_0 = A - r\theta_0 = \frac{1}{3}A$

であり，台に対する円筒の振幅は $2A/3$ となる。

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最終更新：2010年04月02日 09:59

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