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斜め方向のドップラー効果（難問） - (2011/02/04 (金) 16:55:07) の１つ前との変更点
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****斜め方向のドップラー効果（難問）
ちょっとした難問。斜め方向のドップラー効果の近似式を用いる問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1054873615]]より。
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【問題】
平坦な地面で、直線上のレールに直角に交差する道路上を、速度$$u$$で踏み切りに向かって走っている自動車に乗った観測者が、踏み切りを通過するとき、線路のはるかかなたから近づく電車を確認した。ちょうどそのとき電車は汽笛をならし、その振動数を測ると$$n{\rm[Hz]}$$であった。自動車が踏み切りを渡ってしばらくしてから、バックミラーを覗くと、電車が汽笛を鳴らしながら踏み切りを通過した、その時の汽笛の振動数は$$n^\prime{\rm [Hz]}$$だった。音速を$$c$$としたとき、電車の速さ$$v$$と汽笛の本来の振動数$$n_0$$を求めよ。
【解答】
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=490&file=%E3%83%89%E3%83%83%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E9%9B%A3%E5%95%8F.bmp)
$$\alpha=\frac{u}{c}\quad,\quad \beta=\frac{v}{c}\quad,\quad \mu=\frac{n^\prime}{n}$$
とおく。踏切上での観測より，
$$n = \frac{c}{c-v}\times n_0$$
すなわち
$$\frac{n_0}{n} = 1 - \beta$$ … (i)
後に観測した音を電車が発した位置を自動車の進行方向から$$\theta$$方向とすると，
$$\sin\theta = \beta\quad,\cos\theta = \sqrt{1-\beta^2}$$
音波の伝わる方向への速度成分は，自動車が$$u \cos\theta$$，電車が$$v \sin\theta$$なので，
$$n^\prime = \frac{c - u \cos\theta}{c - v \sin\theta}\times n_0$$
(i)を考慮して，
$$\mu = \frac{ 1 - \alpha\sqrt{1-\beta^2}}{1 + \beta}$$ … (ii)
を得る。これを$$\beta$$について解くと，
$$\beta = \frac{ (1-\mu)\mu \pm \alpha\sqrt{2\mu-1+\alpha^2} }{\mu^2 + \alpha^2}$$ … (iii)
を得る。複号の判定が難しいところ。(ii)を$$\alpha$$について解くと，
$$\alpha = \frac{1-\mu(1+\beta)}{\sqrt{1-\beta^2}} > 0$$
右辺の分子に(iii)を代入すると，
$$1-\mu(1+\beta) = \frac{\alpha^2\left(1-\mu\mp\mu\sqrt{1+\displaystyle\frac{2\mu-1}{\alpha^2}}\right)}{\mu^2+\alpha^2} > 0$$
$$\therefore 1-\mu\mp\mu\sqrt{1+\frac{2\mu-1}{\alpha^2}} > 0$$
$$\mu \lesssim 1$$を考慮すると$$2\mu-1 > 0$$であろうから，根号は1より大きい。すると根号のマイナスを選ぶと，結果的に$$\alpha<0$$となるからプラスを選ぶべきである。(iii)にさかのぼれば，$$\beta$$の根号はマイナスを選ぶことになる。これで$$v$$が導出された。あらためて(i)より，$$n_0$$を得る。
複号の判定に，もっと簡明な方法はないだろうか？
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****斜め方向のドップラー効果（難問）
ちょっとした難問。斜め方向のドップラー効果の近似式を用いる問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1054873615]]より。
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【問題】
平坦な地面で、直線上のレールに直角に交差する道路上を、速度$$u$$で踏み切りに向かって走っている自動車に乗った観測者が、踏み切りを通過するとき、線路のはるかかなたから近づく電車を確認した。ちょうどそのとき電車は汽笛をならし、その振動数を測ると$$n{\rm[Hz]}$$であった。自動車が踏み切りを渡ってしばらくしてから、バックミラーを覗くと、電車が汽笛を鳴らしながら踏み切りを通過した、その時の汽笛の振動数は$$n^\prime{\rm [Hz]}$$だった。音速を$$c$$としたとき、電車の速さ$$v$$と汽笛の本来の振動数$$n_0$$を求めよ。
【解答】
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=490&file=%E3%83%89%E3%83%83%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E9%9B%A3%E5%95%8F.bmp)
$$\alpha=\frac{u}{c}\quad,\quad \beta=\frac{v}{c}\quad,\quad \mu=\frac{n^\prime}{n}$$
とおく。踏切上での観測より，
$$n = \frac{c}{c-v}\times n_0$$
すなわち
$$\frac{n_0}{n} = 1 - \beta$$ … (i)
後に観測した音を電車が発した位置を自動車の進行方向から$$\theta$$方向とすると，
$$\sin\theta = \beta\quad,\cos\theta = \sqrt{1-\beta^2}$$
音波の伝わる方向への速度成分は，自動車が$$u \cos\theta$$，電車が$$v \sin\theta$$なので，
$$n^\prime = \frac{c - u \cos\theta}{c - v \sin\theta}\times n_0$$
(i)を考慮して，
$$\mu = \frac{ 1 - \alpha\sqrt{1-\beta^2}}{1 + \beta}$$ … (ii)
を得る。これを$$\beta$$について解くと，
$$\beta = \frac{ (1-\mu)\mu \pm \alpha\sqrt{2\mu-1+\alpha^2} }{\mu^2 + \alpha^2}$$ … (iii)
を得る。複号の判定が難しいところ。(ii)を$$\alpha$$について解くと，
$$\alpha = \frac{1-\mu(1+\beta)}{\sqrt{1-\beta^2}} > 0$$
右辺の分子に(iii)を代入すると，
$$1-\mu(1+\beta) = \frac{\alpha^2\left(1-\mu\mp\mu\sqrt{1+\displaystyle\frac{2\mu-1}{\alpha^2}}\right)}{\mu^2+\alpha^2} > 0$$
$$\therefore 1-\mu\mp\mu\sqrt{1+\frac{2\mu-1}{\alpha^2}} > 0$$
$$\mu \lesssim 1$$を考慮すると$$2\mu-1 > 0$$であろうから，根号は1より大きい。すると複号のマイナスを選ぶと，結果的に$$\alpha<0$$となるからプラスを選ぶべきである。(iii)にさかのぼれば，$$\beta$$の複号はマイナスを選ぶことになる。これで$$v$$が導出された。あらためて(i)より，$$n_0$$を得る。
複号の判定に，もっと簡明な方法はないだろうか？
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