斜め方向のドップラー効果（難問） - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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斜め方向のドップラー効果（難問）

ちょっとした難問。斜め方向のドップラー効果の近似式を用いる問題。Yahoo!知恵袋より。

【問題】

平坦な地面で、直線上のレールに直角に交差する道路上を、速度 $u$ で踏み切りに向かって走っている自動車に乗った観測者が、踏み切りを通過するとき、線路のはるかかなたから近づく電車を確認した。ちょうどそのとき電車は汽笛をならし、その振動数を測ると $n{\rm[Hz]}$ であった。自動車が踏み切りを渡ってしばらくしてから、バックミラーを覗くと、電車が汽笛を鳴らしながら踏み切りを通過した、その時の汽笛の振動数は $n^\prime{\rm [Hz]}$ だった。音速を $c$ としたとき、電車の速さ $v$ と汽笛の本来の振動数 $n_0$ を求めよ。

【解答】

$\alpha=\frac{u}{c}\quad,\quad \beta=\frac{v}{c}\quad,\quad \mu=\frac{n^\prime}{n}$

とおく。踏切上での観測より，

$n = \frac{c}{c-v}\times n_0$

すなわち

$\frac{n_0}{n} = 1 - \beta$ 　…　(i)

後に観測した音を電車が発した位置を自動車の進行方向から $\theta$ 方向とすると，

$\sin\theta = \beta\quad,\cos\theta = \sqrt{1-\beta^2}$

音波の伝わる方向への速度成分は，自動車が $u \cos\theta$ ，電車が $v \sin\theta$ なので，

$n^\prime = \frac{c - u \cos\theta}{c - v \sin\theta}\times n_0$

(i)を考慮して，

$\mu = \frac{ 1 - \alpha\sqrt{1-\beta^2}}{1 + \beta}$ 　…　(ii)

を得る。これを $\beta$ について解くと，

$\beta = \frac{ (1-\mu)\mu \pm \alpha\sqrt{2\mu-1+\alpha^2} }{\mu^2 + \alpha^2}$ 　…　(iii)

を得る。複号の判定が難しいところ。(ii)を $\alpha$ について解くと，

$\alpha = \frac{1-\mu(1+\beta)}{\sqrt{1-\beta^2}} > 0$

右辺の分子に(iii)を代入すると，

$1-\mu(1+\beta) = \frac{\alpha^2\left(1-\mu\mp\mu\sqrt{1+\displaystyle\frac{2\mu-1}{\alpha^2}}\right)}{\mu^2+\alpha^2} > 0$

$\therefore 1-\mu\mp\mu\sqrt{1+\frac{2\mu-1}{\alpha^2}} > 0$

$\mu \lesssim 1$ を考慮すると $2\mu-1 > 0$ であろうから，根号は1より大きい。すると複号のマイナスを選ぶと，結果的に $\alpha<0$ となるからプラスを選ぶべきである。(iii)にさかのぼれば， $\beta$ の複号はマイナスを選ぶことになる。これで $v$ が導出された。あらためて(i)より， $n_0$ を得る。

複号の判定に，もっと簡明な方法はないだろうか？

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最終更新：2011年02月04日 16:55

添付ファイル

ドップラー難問.bmp