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****双極子が非一様電場から受ける力
[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1198447316]]より。電気双極子が，非一様な（場所に依存する）電場から受ける力を求める，ベクトル解析の問題。
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【問題】
非一様な(場所に依存する)電場$$\boldsymbol{E}$$の中で双極子モーメント$$\boldsymbol{p}$$ にはたらく力は，
$$\boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})$$
で表されることを示せ。ただし，ベクトル解析の公式
$$\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$
を用いること。
----
【解答】
双極子モーメントを
$$\boldsymbol{p} = q \boldsymbol{d}$$
とすると，双極子の中心を原点にとって
$$+q$$ の位置は，$$\boldsymbol{d}/2$$
$$-q$$ の位置は，$$-\boldsymbol{d}/2$$
したがって，位置$$\boldsymbol{r}$$の電場を$$\boldsymbol{E}(\bolsymbol{r})$$と書くとき求める力は，
$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) - q\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2)$$
ここで，$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2)$$を原点まわりに展開して，１次の項だけ残せば
$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) + \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$
$$\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) - \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$
したがって，
$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{d}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$
しかるに，
$$\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}$$
$$\therefore \boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})$$
を得る。
----
$$\nabla\boldsymbol{E}$$ は微分演算子ベクトルと電場ベクトルの「直積」である。
$$\nabla\boldsymbol{E} = \left(\begin{array}{ccc}\partial_xE_x \quad \partial_xE_y \quad \partial_xE_z \\ \partial_yE_x \quad \partial_yE_y \quad \partial_yE_z \\\partial_zE_x \quad \partial_zE_y \quad \partial_zE_z \end{array}\right)$$
****双極子が非一様電場から受ける力
[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1198447316]]より。電気双極子が，非一様な（場所に依存する）電場から受ける力を求める，ベクトル解析の問題。
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【問題】
非一様な(場所に依存する)電場$$\boldsymbol{E}$$の中で双極子モーメント$$\boldsymbol{p}$$ にはたらく力は，
$$\boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})$$
で表されることを示せ。ただし，ベクトル解析の公式
$$\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$
を用いること。
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【解答】
双極子モーメントを
$$\boldsymbol{p} = q \boldsymbol{d}$$
とすると，双極子の中心を原点にとって
$$+q$$ の位置は，$$\boldsymbol{d}/2$$
$$-q$$ の位置は，$$-\boldsymbol{d}/2$$
したがって，位置$$\boldsymbol{r}$$の電場を$$\boldsymbol{E}(\bolsymbol{r})$$と書くとき求める力は，
$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) - q\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2)$$
ここで，$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2)$$を原点まわりに展開して，１次の項だけ残せば
$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) + \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$
$$\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) - \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$
したがって，
$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{d}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$
しかるに，
$$\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}$$
$$\therefore \boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})$$
を得る。
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$$\nabla\boldsymbol{E}$$ は微分演算子ベクトルと電場ベクトルの「直積」である。
$$\nabla\boldsymbol{E} = \left(\begin{array}{ccc}\partial_xE_x \quad \partial_xE_y \quad \partial_xE_z \\ \partial_yE_x \quad \partial_yE_y \quad \partial_yE_z \\\partial_zE_x \quad \partial_zE_y \quad \partial_zE_z \end{array}\right)$$
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