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双極子が非一様電場から受ける力
Yahoo!知恵袋より。電気双極子が，非一様な（場所に依存する）電場から受ける力を求める，ベクトル解析の問題。
【問題】

非一様な(場所に依存する)電場\boldsymbol{E}の中で双極子モーメント\boldsymbol{p} にはたらく力は，

\boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})

で表されることを示せ。ただし，ベクトル解析の公式

\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}

を用いること。
【解答】

双極子モーメントを

\boldsymbol{p} = q \boldsymbol{d}

とすると，双極子の中心を原点にとって

+q の位置は，\boldsymbol{d}/2
-q の位置は，-\boldsymbol{d}/2

したがって，位置\boldsymbol{r}の電場を\boldsymbol{E}(\bolsymbol{r})と書くとき求める力は，

\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) - q\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2)

ここで，\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2)を原点まわりに展開して，１次の項だけ残せば

\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) + \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}
\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) - \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}


したがって，

\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{d}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}

しかるに，

\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}

\therefore \boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})

を得る。
\nabla\boldsymbol{E} は微分演算子ベクトルと電場ベクトルの「直積」である。

\nabla\boldsymbol{E} = \left(\begin{array}{ccc}\partial_xE_x \quad \partial_xE_y \quad \partial_xE_z \\ \partial_yE_x \quad \partial_yE_y \quad \partial_yE_z \\\partial_zE_x \quad \partial_zE_y \quad \partial_zE_z \end{array}\right)
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最終更新：2012年12月10日 12:44