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宇宙ステーションからのボール投げ - (2009/09/17 (木) 21:08:20) のソース

****宇宙ステーションからのボール投げ
円軌道を周回する宇宙ステーションからボールを鉛直下方（または上方）に投げる。ボールが描く楕円軌道とステーションの円軌道の関係について。
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軌道交差点は円軌道の同一直径上にならぶのではないかとの予想

【証明】
質量$$M$$の地球のまわりを速さ$$u$$，半径$$R$$の円軌道でめぐる，質量$$m$$の宇宙ステーション（ISS）に対して，半径方向の運動方程式は

$$m\frac{u^2}{R} = G\frac{Mm}{R^2}$$

したがってISSの面積速度$$S$$は，

$$2S = Ru = \sqrt{GMR}$$

である。

このISSから，鉛直下方に投射したボールの軌道は楕円になる。その長半径を$$a$$，離心率を$$e$$とする。このとき，ボールは中心力によって加速されたことになるから，その面積速度はISSと等しいはずである。したがって，近地点および遠地点でのボールの速さを$$V,v$$とすると，面積速度一定により

$$2S = (1-e)aV = (1+e)av $$

また，エネルギー保存により，

$$\frac{1}{2}mV^2 - G\frac{Mm}{(1-e)a} = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{(1+e)a}$$

が成り立つ。２式から$$V$$を求め，面積速度から$$R$$を逆算すると

$$R = (1-e^2)a$$

となる。

一方，楕円軌道の極座標方程式は

$$r = \frac{(1-e^2)a}{1+e\cos\theta}$$

であるから，$$r=R$$となるのは$$\theta=\pm\pi/2$$のときである。
すなわち，ISSの円軌道とボールの楕円軌道の交差点は，円軌道の直径上にならぶことになる。

また，このときボールの軌道の長半径$$a$$，短半径$$b$$はともに$$R$$より大きくなることが示される。
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Phunでシミュレートしてみた。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=166&file=SateliteLauncher.bmp)
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Phunシーンダウンロード
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=166&file=Satellite+Launcher.phz
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#Video(http://www.youtube.com/watch?v=38awXggatoE)