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宇宙ステーションからのボール投げ
円軌道を周回する宇宙ステーションからボールを鉛直下方（または上方）に投げる。ボールが描く楕円軌道とステーションの円軌道の関係について。
軌道交差点は円軌道の同一直径上にならぶのではないかとの予想

【証明】
質量Mの地球のまわりを速さu，半径Rの円軌道でめぐる，質量mの宇宙ステーション（ISS）に対して，半径方向の運動方程式は

m\frac{u^2}{R} = G\frac{Mm}{R^2}

したがってISSの面積速度Sは，

2S = Ru = \sqrt{GMR}

である。

このISSから，鉛直下方に投射したボールの軌道は楕円になる。その長半径をa，離心率をeとする。このとき，ボールは中心力によって加速されたことになるから，その面積速度はISSと等しいはずである。したがって，近地点および遠地点でのボールの速さをV,vとすると，面積速度一定により

2S = (1-e)aV = (1+e)av

また，エネルギー保存により，

\frac{1}{2}mV^2 - G\frac{Mm}{(1-e)a} = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{(1+e)a}

が成り立つ。２式からVを求め，面積速度からRを逆算すると

R = (1-e^2)a

となる。

一方，楕円軌道の極座標方程式は

r = \frac{(1-e^2)a}{1+e\cos\theta}

であるから，r=Rとなるのは\theta=\pm\pi/2のときである。
すなわち，ISSの円軌道とボールの楕円軌道の交差点は，円軌道の直径上にならぶことになる。

また，このときボールの軌道の長半径a，短半径bはともにRより大きくなることが示される。
Phunでシミュレートしてみた。
Phunシーンダウンロード

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最終更新：2009年09月17日 21:08