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【解答】回転軸連結された２本の棒 - (2009/11/22 (日) 22:18:16) のソース

****【解答】回転軸連結された２本の棒
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外力がないから，全体の重心は静止したままである。重心を原点とし，図のように座標軸をとるとき，左回転する棒の重心（中心）の座標を $$(0,y)$$，棒の連結軸の座標を $$(x,0)$$とおく。このときの回転角を $$\theta$$ とすると，

$$x = -\frac{l}{2}\cos\theta\qquad y = \frac{l}{2}\sin\theta$$

$$\dot{x} = \frac{l\dot{\theta}}{2}\sin\theta \qquad \dot{y} = \frac{l\dot{\theta}}{2}\cos\theta$$

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=200&file=Arms0.bmp)


系のラグランジアンは，

$$L = 2\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^2 + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}ml^2\dot{\theta}^2\right) = \frac{1}{12}ml^2\dot{\theta}^2(1+3\cos^2\theta)$$

となる。微分すると，

$$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta$$
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{1}{6}ml^2\dot{\theta}(1+3\cos^2\theta)$$

となり，運動方程式

$$\ddot{\theta} = \frac{3\sin\theta\cos\theta}{1+3\cos^2\theta}\cdot\dot{\theta}^2$$

を得る。数値積分して，角速度の変化をプロットすると下のようになった。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=200&file=Arms.bmp)
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Algodoo のシーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=201&file=Arms02.phz
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#Video(http://www.youtube.com/watch?v=9Wo7wafsA4c)
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