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【解答】回転軸連結された２本の棒
外力がないから，全体の重心は静止したままである。重心を原点とし，図のように座標軸をとるとき，左回転する棒の重心（中心）の座標を (0,y)，棒の連結軸の座標を (x,0)とおく。このときの回転角を \theta とすると，

x = -\frac{l}{2}\cos\theta\qquad y = \frac{l}{2}\sin\theta

\dot{x} = \frac{l\dot{\theta}}{2}\sin\theta \qquad \dot{y} = \frac{l\dot{\theta}}{2}\cos\theta



系のラグランジアンは，

L = 2\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^2 + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}ml^2\dot{\theta}^2\right) = \frac{1}{12}ml^2\dot{\theta}^2(1+3\cos^2\theta)

となる。微分すると，

\frac{\partial L}{\partial \theta} = -\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta
\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{1}{6}ml^2\dot{\theta}(1+3\cos^2\theta)

となり，運動方程式

\ddot{\theta} = \frac{3\sin\theta\cos\theta}{1+3\cos^2\theta}\cdot\dot{\theta}^2

を得る。数値積分して，角速度の変化をプロットすると下のようになった。

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最終更新：2009年11月22日 22:18
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