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【解答】円筒面をすべる小球 - (2009/11/28 (土) 19:32:22) のソース

****【解答】円筒面をすべる小球
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(1)

図のようにおく。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=214&file=hanen-suberiA.bmp)


小球が円筒面を離れる瞬間において，エネルギー保存により

$$mgr(1-\cos\theta) = \frac{1}{2}mv^2$$

また，このときの運動方程式（半径方向）は，$$N=0$$ より

$$\frac{mv^2}{r} = mg\cos\theta$$

両式より $$v$$ を消去して，

$$\cos\theta=\frac{2}{3}$$

このとき，

$$v=\sqrt{\frac{2gr}{3}}$$

(2)

円筒面を離れてから水平面に達するまでの時間を $$t$$ とする。
水平方向と鉛直方向の移動距離について，

$$l-r\sin\theta = x = v\cos\theta \cdot t$$
$$r\cos\theta = v\sin\theta\cdot t+\frac{1}{2}gt^2$$

すなわち，

$$r\cos\theta = x\tan\theta + \frac{gx^2}{2v^2\cos^2\theta}$$

代入整理すると，

$$x^2+\frac{8\sqrt{5}}{27}rx-\frac{32}{81}r^2=0 \qquad \therefore \frac{x}{r}=-\frac{4\sqrt{5}}{27}+\sqrt{\left(\frac{4\sqrt{5}}{27}\right)^2+\frac{32}{81}} \simeq 0.379$$

となる。したがって，

$$l = r\sin\theta + x \simeq 1.12r$$

Algodooの設定は，$$r=50{\rm [m]}$$。離れる角度は，軌道では判定不能。やはり垂直抗力を表示させて，ゼロになることで判定するしかない。シミュレーションで表示させた力は計算誤差のために大きく変動する（これがむしろリアリティを増している？）が，目標の角度以降は確実にゼロに落ちる。
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Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=214&file=hanen-suberi.phz
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