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【解答】円筒面をすべる小球
(1)

図のようにおく。



小球が円筒面を離れる瞬間において，エネルギー保存により

mgr(1-\cos\theta) = \frac{1}{2}mv^2

また，このときの運動方程式（半径方向）は，N=0 より

\frac{mv^2}{r} = mg\cos\theta

両式より v を消去して，

\cos\theta=\frac{2}{3}

このとき，

v=\sqrt{\frac{2gr}{3}}

(2)

円筒面を離れてから水平面に達するまでの時間を t とする。
水平方向と鉛直方向の移動距離について，

l-r\sin\theta = x = v\cos\theta \cdot t
r\cos\theta = v\sin\theta\cdot t+\frac{1}{2}gt^2

すなわち，

r\cos\theta = x\tan\theta + \frac{gx^2}{2v^2\cos^2\theta}

代入整理すると，

x^2+\frac{8\sqrt{5}}{27}rx-\frac{32}{81}r^2=0 \qquad \therefore \frac{x}{r}=-\frac{4\sqrt{5}}{27}+\sqrt{\left(\frac{4\sqrt{5}}{27}\right)^2+\frac{32}{81}} \simeq 0.379

となる。したがって，

l = r\sin\theta + x \simeq 1.12r

Algodooの設定は，r=50{\rm [m]}。離れる角度は，軌道では判定不能。やはり垂直抗力を表示させて，ゼロになることで判定するしかない。シミュレーションで表示させた力は計算誤差のために大きく変動する（これがむしろリアリティを増している？）が，目標の角度以降は確実にゼロに落ちる。
Algodoo シーン

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最終更新：2009年11月28日 19:32