「【解答】すべり台と壁を往復する小球」の編集履歴（バックアップ）一覧に戻る
****【解答】すべり台と壁を往復する小球
----
(1)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=248&file=ryukyu05-1.bmp)
求める小球およびすべり台の速さを $$v_0,V_0$$ とおくと，運動量保存により
$$0 = mv_0 - MV_0 \qquad \therefore V_0 = \frac{v_0}{\alpha}$$
また，エネルギー保存により，
$$mgh = \frac{1}{2}m{v_0}^2 + \frac{1}{2}M{V_0}^2 = \frac{1}{2}m{v_0}^2\left(1+\frac{1}{\alpha}\right)$$
したがって，両式より
$$v_0 = \sqrt{\frac{\alpha\cdot 2gh}{\alpha+1}}, \qquad V_0 = \sqrt{\frac{2gh}{\alpha(\alpha+1)}}$$
(2)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=248&file=ryukyu05-2.bmp)
小球が最高点に上がったときの両者の速さを $$V$$ とおくと，運動量保存により
$$MV_0 + mv_0 = (M+m)V \quad {\rm i.e.}\quad 2v_0 = (\alpha+1)V \quad \therefore V = \frac{2v_0}{\alpha+1}$$
求める高さを $$l$$ とおくとエネルギー保存により，
$$mgh = \frac{1}{2}(M+m)V^2 + mgl\qquad \therefore l = h - \frac{2v_0^2}{g(\alpha+1)} = \left(\frac{\alpha-1}{\alpha+1}\right)^2\;h$$
(3)
再度小球がすべり台を離れるときの，小球およびすべり台の速さを $$v_1,V_1$$ とおくと，運動量保存により
$$MV_0 + mv_0 = MV_1 - mv_1 \qquad {\rm i.e.} \quad 2v_0 = \alpha V_1 - v_1$$
また，力学的エネルギー保存より両者の相対速さは変化しないから（はねかえり係数=1），
$$v_0 - V_0 = v_1 + V_1$$
両式から，
$$v_1 = \frac{\alpha - 3}{1 + \alpha}\;v_0 ,\quad V_1 = \frac{3\alpha - 1}{\alpha(\alpha+1)}\;v_0$$
再び小球がすべり台に追いつく条件は，
$$v_1 - V_1 > 0$$
すなわち，
$$\frac{\alpha-3}{\alpha+1} - \frac{3\alpha-1}{\alpha(\alpha+1)} > 0$$
これを解いて，
$$\alpha > 3+2\sqrt{2}$$
※ Algodoo の設定は，$$m=1000{\rm [kg]},\alpha=10,h=100{\rm [m]}$$。精度をよくするために巨大化した（特にすべり台=ポリゴンのすべり損失をおさえる効果あり）。
----
